المساحة تحت المنحنى بالتكامل المحدد: شرح وأمثلة محلولة

كيف تقيس أرضاً يحدّها من جهة مجرى ماء ملتوٍ؟ المستطيل له قانون، والمثلث له قانون. الضلع المنحني لا قانون له في الهندسة المدرسية.

هنا يدخل التكامل المحدد. نبدأ من فكرته، ثم نحسب باليد، ثم نفهم لماذا يعطيك أحياناً رقماً سالباً، وننهي بالحساب في ثوانٍ على الحاسبة العلمية.

الفكرة: مستطيلات رفيعة جداً

قطّع المنطقة تحت المنحنى إلى شرائح عمودية رفيعة. كل شريحة تكاد تكون مستطيلاً: عرضها صغير، وطولها قيمة الدالة عند موضعها. اجمع مساحاتها تحصل على تقريب. اجعل الشرائح أرفع يقترب التقريب من الحقيقة.

حين يصير عدد الشرائح لا نهائياً نكتب المجموع هكذا:

∫ من a إلى b لـ f(x) dx

الرمز ∫ حرف S ممدود، من كلمة مجموع. وdx تذكير بعرض الشريحة الرفيع.

قانون حساب المساحة تحت المنحنى

لا أحد يجمع ملايين المستطيلات. المبرهنة الأساسية في التفاضل والتكامل تختصر الطريق: ابحث عن دالة F مشتقتها f، ثم:

∫ من a إلى b لـ f(x) dx = F(b) − F(a)

تسمى F المشتقة العكسية أو الدالة الأصلية. والقاعدة التي ستستعملها أكثر من غيرها: الدالة الأصلية لـ xⁿ هي xⁿ⁺¹ ÷ (n + 1). ارفع الأس واحداً واقسم على الأس الجديد. هي قاعدة القوة من قواعد الاشتقاق معكوسة.

مثال محلول 1: دالة موجبة

المطلوب: المساحة تحت y = x² + 2x من x = 0 إلى x = 3.

الدالة الأصلية: F(x) = x³/3 + x².

F(3) = 27/3 + 9 = 9 + 9 = 18

F(0) = 0

المساحة = 18 − 0 = 18 وحدة مربعة.

المنحنى فوق محور x طوال الفترة، فقيمة التكامل هي المساحة نفسها. لا مفاجآت.

مثال محلول 2: حين يكون المنحنى تحت المحور

المطلوب: ∫ من 0 إلى 3 لـ (x² − 4) dx.

F(x) = x³/3 − 4x، فـ F(3) = 9 − 12 = −3، وF(0) = 0. قيمة التكامل −3.

مساحة سالبة؟ مستحيل. المساحة لا تكون سالبة أبداً. ما جرى أن x² − 4 سالبة بين 0 و2 (المنحنى تحت المحور) وموجبة بين 2 و3، والتكامل يطرح الجزء السفلي من العلوي.

للمساحة الفعلية نقسم عند الجذر x = 2:

• من 0 إلى 2: قيمة التكامل 8/3 − 8 = −16/3، فالمساحة 16/3.
• من 2 إلى 3: قيمة التكامل −3 − (−16/3) = 7/3، فالمساحة 7/3.

المساحة الكلية = 16/3 + 7/3 = 23/3 ≈ 7.667 وحدة مربعة.

هذا السؤال بعينه حاضر في امتحانات نهاية الفصل كل عام، وكل عام يكتب طلاب كثيرون −3 أو 3 ويخسرون الدرجة. قبل أي سؤال مساحة، فتّش عن جذور الدالة داخل الفترة.

مثال من الواقع: أرض أبو خالد

أرض أبو خالد الزراعية يحدّها طريق مستقيم من جهة، وقناة ري منحنية من الجهة الأخرى. نضع الطريق على محور x. القناة تتبع y = 4x − x² من x = 0 إلى x = 4، وكل وحدة تمثّل 10 أمتار. كم مساحة الأرض؟

F(x) = 2x² − x³/3

F(4) = 32 − 64/3 = 32/3، وF(0) = 0.

المساحة = 32/3 ≈ 10.667 وحدة مربعة. الوحدة المربعة هنا 10 × 10 = 100 متر مربع، فالأرض نحو 1067 متراً مربعاً.

حساب المساحة على الحاسبة العلمية من RaqamX

خطوات المثال 1:

1. افتح الحاسبة العلمية وتأكد أن حساب هو المحدد فوق الشاشة، واضغط AC.
2. اضغط ∫ فيظهر قالب التكامل والمؤشر في خانة الدالة.
3. اكتب x ثم x² ثم + ثم 2 ثم x.
4. اضغط ▶ للانتقال إلى الحد الأدنى واكتب 0.
5. اضغط ▶ للحد الأعلى واكتب 3.
6. اضغط = فتظهر 18.

للمساحة الفعلية في المثال 2 دون تقسيم الفترة، استعمل القيمة المطلقة:

1. اضغط ∫، ثم SHIFT ثم x⁻¹ لتكتب |x|.
2. اكتب داخلها x ثم x² ثم − 4.
3. اضغط ▶ مرتين: مرة للخروج من القيمة المطلقة، ومرة للحد الأدنى. اكتب 0.
4. ▶ ثم 3، ثم =.

تظهر 23/3، واضغط ⇄ لترى القيمة العشرية. وبلا القيمة المطلقة ستظهر −3، وهي صافي التكامل لا المساحة.

فخ الدوال المثلثية: الحاسبة العلمية تبدأ بالدرجات D. احسب ∫ من 0 إلى π لـ sin(x) dx بالدرجات وسترى رقماً صغيراً يقارب 0.0861 بدل 2. اضغط SHIFT ثم ≡ (DRG) حتى يظهر R، ثم احسب. وعند كتابة sin أغلق القوس بـ ) قبل ▶. تفاصيل القوالب في دليل الحساب في الحاسبة العلمية.

أربعة أخطاء تكلّف درجات

• قيمة التكامل ليست المساحة دائماً. إذا عبر المنحنى محور x داخل الفترة فهما رقمان مختلفان.
• نسيان طرح F(a). مع حد أدنى صفر لا يظهر الخطأ. مع حد مثل 1 أو 2 يفسد الجواب.
• دالة أصلية ناقصة. أصل x² ليس x³، بل x³/3. الكشف سهل: اشتق جوابك، فإن لم ترجع إلى الدالة الأصلية فهناك خلل.
• عكس الحدين على الحاسبة. ∫ من 3 إلى 0 يعطي القيمة نفسها بإشارة معكوسة.

تمارين مع الإجابات

1. احسب ∫ من 0 إلى 2 لـ 3x² dx. الإجابة: x³ من 0 إلى 2 = 8.
2. احسب المساحة تحت y = √x من x = 1 إلى x = 4. الإجابة: الأصلية (2/3)x^(3/2)، فالمساحة (2/3)(8 − 1) = 14/3 ≈ 4.667. على الحاسبة اضغط √ ثم x، ثم ▶ مرتين قبل كتابة الحدين.
3. احسب المساحة بين y = sin(x) ومحور x من 0 إلى π. الإجابة: −cos(π) + cos(0) = 1 + 1 = 2، بوحدة الراديان.

أسئلة شائعة

كيف أحسب المساحة تحت المنحنى؟

أوجد الدالة الأصلية F، ثم احسب F(b) − F(a). وإن نزل المنحنى تحت محور x في جزء من الفترة، فقسّم الفترة عند الجذور واجمع القيم المطلقة.

ما الفرق بين التكامل المحدد وغير المحدد؟

غير المحدد يعطيك دالة أصلية مع ثابت C. المحدد له حدان ويعطيك عدداً واحداً.

لماذا يكون التكامل سالباً؟

لأن الدالة سالبة في الفترة كلها أو في معظمها، أي أن المنحنى تحت محور x. القيمة السالبة تقول إن المساحة تحت المحور أكبر من المساحة فوقه.

هل تحسب الحاسبة العلمية التكامل بدقة؟

تحسبه عددياً بدقة عالية، وتعرض النتيجة كسراً دقيقاً مثل 14/3 كلما أمكن. اضغط ⇄ للقيمة العشرية.

قبل أن تحل أي سؤال مساحة

ارسم المنحنى في ذهنك أو على الورق أولاً، أو افتحه في رسم الدوال وإيجاد الجذور. إن قطع المحور داخل الفترة فقسّم. ولمراجعة الأدوات الثلاث معاً اقرأ التكامل والمشتقة ومجموع المتسلسلات.