موظف يبدأ براتب 4000 ريال، ويزيد راتبه 150 ريالاً كل سنة. كم يقبض في السنة العاشرة؟ وكم جمع في السنوات العشر كلها؟
سؤالان من صميم المتتاليات الحسابية والهندسية. الطلاب يحبون هذا الدرس لقربه من الحياة، ثم يخسرون فيه درجات بسبب خطأ عدّ واحد. سأريك هذا الخطأ بعد قليل، ثم نحسب المجموع بزر Σ في الحاسبة العلمية.
المتتالية الحسابية: نضيف العدد نفسه
ننتقل من حد إلى الذي يليه بإضافة عدد ثابت اسمه أساس المتتالية أو الفرق المشترك، ورمزه d. في 5، 8، 11، 14... الأساس 3.
الحد العام: aₙ = a₁ + (n − 1)d
مجموع أول n حداً: Sₙ = n/2 × (a₁ + aₙ)، أو بصيغة أخرى Sₙ = n/2 × (2a₁ + (n − 1)d)
لماذا (n − 1) وليس n؟ لأن الحد الأول لم يُضف إليه شيء. للوصول إلى الحد العاشر تضيف d تسع مرات فقط. هذا هو الخطأ الموعود، ويظهر في كل امتحان تقريباً.
مثال الراتب محلولاً
الراتب الأول a₁ = 4000، والزيادة d = 150، ونريد n = 10.
راتب السنة العاشرة: a₁₀ = 4000 + 9 × 150 = 4000 + 1350 = 5350 ريالاً
مجموع ما قبضه في عشر سنوات (بحساب راتب سنوي واحد لكل سنة):
S₁₀ = 10/2 × (4000 + 5350) = 5 × 9350 = 46750 ريالاً
مثال آخر: مقاعد المسرح
مسرح مدرسة صفه الأول 20 مقعداً، وكل صف يزيد مقعدين على سابقه، والصفوف 15.
- الصف الأخير: a₁₅ = 20 + 14 × 2 = 48 مقعداً.
- المسرح كله: S₁₅ = 15/2 × (20 + 48) = 7.5 × 68 = 510 مقاعد.
المتتالية الهندسية: نضرب في العدد نفسه
هنا ننتقل من حد إلى التالي بالضرب في عدد ثابت r اسمه الأساس. في 2، 6، 18، 54... الأساس 3.
الحد العام: aₙ = a₁ × rⁿ⁻¹
مجموع أول n حداً (عندما r ≠ 1): Sₙ = a₁ × (rⁿ − 1) ÷ (r − 1)
مثال الحصّالة
قرر يوسف أن يضع في حصّالته 5 دنانير في الأسبوع الأول، ويضاعف المبلغ كل أسبوع. خطة تبدو متواضعة. تابع الأرقام.
a₁ = 5 وr = 2. في الأسبوع العاشر عليه أن يضع:
a₁₀ = 5 × 2⁹ = 5 × 512 = 2560 ديناراً
وما في الحصالة بعد عشرة أسابيع:
S₁₀ = 5 × (2¹⁰ − 1) ÷ (2 − 1) = 5 × 1023 = 5115 ديناراً
من خمسة دنانير إلى أكثر من خمسة آلاف في عشرة أسابيع. هذه قوة النمو الهندسي. وهي أيضاً السبب في أن يوسف سيتخلى عن الخطة غالباً في الأسبوع السادس.
عندما يكون الأساس أقل من 1
سيارة ثمنها 80000 ريال تفقد 20% من قيمتها كل سنة. قيمتها كل سنة إذن 0.8 من قيمة السنة السابقة، فالأساس r = 0.8.
بعد 3 سنوات: 80000 × 0.8³ = 80000 × 0.512 = 40960 ريالاً.
دقّق في العدّ: القيمة «بعد 3 سنوات» هي الحد الرابع إذا عددنا السعر الأصلي حداً أول، ولذلك ضربنا في 0.8 ثلاث مرات فقط. حدّد نقطة البداية قبل أن تكتب أي قانون.
مجموع المتتاليات الحسابية والهندسية بزر Σ
القوانين تكفي للحل. لكن زر Σ في الحاسبة العلمية يعطيك المجموع مباشرة، فتراجع جوابك في ثوانٍ. اكتب الحد العام بدلالة x، ثم حدّد البداية والنهاية.
مجموع رواتب السنوات العشر:
- تأكد أنك في تبويب «حساب».
- اضغط Σ، واكتب الحد العام: 4000 + 150 ( x − 1 ). زر x يكتب المتغير.
- اضغط ▶ للانتقال إلى البداية واكتب 1، ثم ▶ للنهاية واكتب 10.
- اضغط =، فتظهر 46750.
مجموع الحصالة:
- اضغط Σ، واكتب 5 × 2، ثم اضغط xⁿ واكتب الأس x − 1.
- اضغط ▶ مرة للخروج من الأس، ثم ▶ مرة أخرى للانتقال إلى البداية واكتب 1، ثم ▶ واكتب 10.
- اضغط =، فتظهر 5115.
والحد العام وحده لا يحتاج Σ: اكتب 5 × 2 ثم xⁿ ثم 9 ثم =، فتظهر 2560.
ميزة هذه الطريقة أنها مستقلة عن قانون المجموع. إذا اختلف جوابك عن جواب Σ فالخلل في تعويضك. شرح قالب Σ وبقية أدوات الحساب في دليل وضع الحساب.
أخطاء تتكرر
- n بدل (n − 1). الأس في الهندسية والمضاعف في الحسابية هو n − 1. احسب a₁₀ للراتب بـ 10 × 150 تحصل على 5500 بدل 5350.
- الخلط بين النوعين. فرق ثابت يعني حسابية، ونسبة ثابتة تعني هندسية. في 3، 6، 12 الفروق 3 ثم 6، غير ثابتة، والنسبة 2 ثابتة.
- الحد مكان المجموع. «كم وضع في الأسبوع العاشر؟» يريد a₁₀. «كم جمع خلال عشرة أسابيع؟» يريد S₁₀. سؤالان مختلفان تماماً.
- الإشارة في النسبة المئوية. نقصان 20% يعني r = 0.8، وزيادة 20% تعني r = 1.2. الأساس ليس 0.2 أبداً.
تمارين مع الحلول
- في المتتالية الحسابية 7، 11، 15، ... جد الحد العشرين ومجموع أول عشرين حداً. (الجواب: a₂₀ = 7 + 19 × 4 = 83، وS₂₀ = 10 × (7 + 83) = 900)
- جد مجموع أول 6 حدود من المتتالية الهندسية 3، 6، 12، ... (الجواب: 3 × (2⁶ − 1) = 3 × 63 = 189)
- احسب بالحاسبة Σ للحد 3x + 2 من x = 1 إلى 20، ثم تحقق بالقانون. (الجواب: 670، لأن الحد الأول 5 والأخير 62، و10 × 67 = 670)
أسئلة شائعة
ما الفرق بين المتتاليات الحسابية والهندسية؟
الحسابية تضيف العدد نفسه في كل خطوة، فتنمو بخطوات متساوية. الهندسية تضرب في العدد نفسه، فتنمو أو تتناقص بنسبة ثابتة، وهي أسرع بكثير حين يكون الأساس أكبر من 1.
ما قانون الحد العام للمتتالية الحسابية؟
aₙ = a₁ + (n − 1)d، حيث a₁ الحد الأول وd الفرق المشترك وn رتبة الحد.
كيف أعرف أساس المتتالية الهندسية؟
اقسم أي حد على الحد الذي قبله. في 2، 6، 18 الأساس 6 ÷ 2 = 3. ثم تأكد أن القسمة تعطي العدد نفسه لكل زوج متتالٍ.
هل للمتتالية الهندسية مجموع لا نهائي؟
نعم إذا كان الأساس بين −1 و1، وعندها S = a₁ ÷ (1 − r). المتتالية 8، 4، 2، 1، ... مجموعها كله 8 ÷ 0.5 = 16. ومن هنا تبدأ المتسلسلات التي شرحتها في التكامل والمشتقة ومجموع المتسلسلات. وفكرة النمو الهندسي نفسها هي أساس الفائدة البسيطة والمركبة.
خلاصة عملية
اسأل نفسك سؤالين قبل الحل: هل أضيف أم أضرب؟ ومن أين يبدأ العدّ؟ الإجابة عن الأول تختار القانون، والإجابة عن الثاني تحميك من خطأ (n − 1). ثم دع Σ يراجع جوابك.