«لا يوجد جذر تربيعي لعدد سالب». هل كذب عليك المعلم سنوات؟

لا. لكنه لم يكمل الجملة. في الثانوية يكتب على السبورة √−1 = i، فيبدو أن القواعد انقلبت. ما حدث أننا انتقلنا إلى مجموعة أوسع: الأعداد المركبة، وفيها يصبح لهذا الجذر معنى. سأشرح الفكرة والعمليات الأساسية بأمثلة محلولة، ثم أريك بصراحة ما تقدر عليه الحاسبة في RaqamX معها، وما لا تقدر عليه.

العدد i

i² = −1

هذا هو التعريف. ومنه √−9 = 3i، و√−16 = 4i.

العدد المركب هو أي عدد على الصورة a + bi:

  • a: الجزء الحقيقي.
  • b: الجزء التخيلي.

3 + 4i جزؤه الحقيقي 3 والتخيلي 4. والعدد 5 وحده مركب أيضاً، جزؤه التخيلي صفر.

لماذا نحتاجها؟ x² + 1 = 0 لا حل حقيقياً لها، ومع i يصبح لها حلان: i و−i. وخارج الصف تُستعمل كثيراً، أشهر ذلك في هندسة الكهرباء لحساب دوائر التيار المتردد.

قوى i تدور في حلقة من أربع: i¹ = i، i² = −1، i³ = −i، i⁴ = 1، ثم تعود. سُئلت عن i¹⁰؟ اقسم 10 على 4، الباقي 2، فالجواب i² = −1.

العمليات

الجمع والطرح

حقيقي مع حقيقي، وتخيلي مع تخيلي، كما تجمع 3x + 2 مع x − 5.

(3 + 2i) + (1 − 5i) = 4 − 3i

الضرب

فك الأقواس كأي عبارة جبرية، ثم استبدل i² بـ −1. والخطوة الأخيرة هي التي تُنسى.

(2 + 3i)(1 − i) = 2 − 2i + 3i − 3i²

= 2 + i − 3(−1) = 2 + i + 3 = 5 + i

المرافق والقسمة

مرافق a + bi هو a − bi: إشارة الجزء التخيلي وحدها تنقلب. وحاصل ضرب العدد في مرافقه حقيقي دائماً:

(a + bi)(a − bi) = a² + b²

(2 + 3i)(2 − 3i) = 4 + 9 = 13.

هذه الخاصية مفتاح القسمة. لا تترك i في المقام؛ اضرب البسط والمقام في مرافق المقام:

(3 + 4i) ÷ (1 + 2i) = (3 + 4i)(1 − 2i) ÷ (1 + 2i)(1 − 2i)

  • البسط: 3 − 6i + 4i − 8i² = 3 − 2i + 8 = 11 − 2i
  • المقام: 1 + 4 = 5
  • الناتج: 11/5 − (2/5)i، أي 2.2 − 0.4i.

المقياس

بُعد العدد عن الصفر: |a + bi| = √(a² + b²). مقياس 3 + 4i = √(9 + 16) = √25 = 5.

الحاسبة العلمية: ما يمكن وما لا يمكن

أريد أن أكون واضحاً. الحاسبة العلمية في RaqamX ليس فيها وضع للأعداد المركبة، ولا زر تكتب به i لتجمع عددين مركبين أو تضربهما. اكتب √ ثم (−) 4 في وضع «حساب» واضغط =، فتظهر Math ERROR، لأن هذا الوضع يعمل بالأعداد الحقيقية وحدها.

لكنها تعطيك المركبة في مكان مهم: جذور المعادلات. في وضع «معادلات» تعرض التربيعية والتكعيبية جذورهما المركبة بالرمز i حين لا يكون هناك حل حقيقي.

حل x² − 6x + 25 = 0

باليد: المميز 36 − 100 = −64، و√−64 = 8i، فالجذران (6 ± 8i) ÷ 2: 3 + 4i و3 − 4i.

بالحاسبة:

  1. اضغط تبويب «معادلات»، ثم 3 لاختيار aX²+bX+c=0.
  2. أدخل 1 =، ثم (−) 6 =، ثم 25 =.
  3. اضغط = مرة أخرى. تظهر X1=3+4i وX2=3−4i.
  4. اضغط ▼ لترى x-Min=3 وy-Min=16.

لاحظ شيئاً جميلاً: حين a = 1 والجذران مركبان، يكون x-Min هو الجزء الحقيقي، وy-Min مربع الجزء التخيلي (16 = 4²). ملاحظة أحب أن يكتشفها طلابي بأنفسهم.

وفي التكعيبية x³ + 4x = 0 (المعاملات 1 و0 و4 و0) تظهر الجذور 0 ثم −2i و2i. التفاصيل في دليل وضع المعادلات.

حيلة للتحقق من الضرب في المرافق

حسبت (2 + 3i)(2 − 3i) = 13 وتريد التأكد؟ العددان جذرا x² − (مجموعهما)x + (حاصل ضربهما) = 0، أي x² − 4x + 13 = 0. أدخل 1 و(−) 4 و13 في وضع المعادلات؛ إن ظهر 2+3i و2−3i فحسابك سليم.

والحاسبة الرسومية؟

وضع «جبر رمزي» في الحاسبة الرسومية يحل كثيرات الحدود حتى الدرجة الثالثة ويعطي الحلول المركبة. اكتب x² + 1 واضغط F4 (solv)، فتظهر x=0+1i وx=0−1i.

أما جمع مركبين أو قسمتهما مباشرة فباليد، كما في الأمثلة أعلاه، ويمكنك حساب الأجزاء الحقيقية بالحاسبة إن كبرت الأرقام.

أخطاء شائعة

  • نسيان i² = −1. يكتب الطالب (2 + 3i)(1 − i) = 2 + i − 3i² ويتوقف، أو يعوّض i² بـ 1. الصحيح 5 + i.
  • ضرب جذرين سالبين مباشرة. √−4 × √−9 ليست √36 = 6. الصحيح 2i × 3i = 6i² = −6. القاعدة √a × √b = √ab تسقط حين يكون العددان سالبين.
  • مرافق خاطئ. مرافق 3 − 2i هو 3 + 2i، لا −3 + 2i. الجزء التخيلي وحده يتغير.
  • i باقية في المقام. 5 ÷ (1 + 2i) جواب ناقص. اضرب في المرافق لتصل إلى 1 − 2i.

تمارين مع الحلول

  1. (1 + 2i) + (4 − i). (الجواب: 5 + i)
  2. (1 + 2i)(3 − i). (الجواب: 3 − i + 6i − 2i² = 5 + 5i)
  3. حل x² + 2x + 10 = 0. (الجواب: −1 + 3i و−1 − 3i، وتحقق في وضع المعادلات)

وللمتحمسين: كم يساوي i³؟ الجواب −i.

أسئلة شائعة

ما العدد التخيلي i؟

العدد الذي مربعه −1. به نكتب جذور الأعداد السالبة: √−25 = 5i.

هل للعدد السالب جذر تربيعي؟

ليس بين الأعداد الحقيقية. أما بين المركبة فنعم: جذر −9 هو 3i، و−3i أيضاً، لأن مربع كل منهما −9.

متى تكون جذور التربيعية مركبة؟

حين يكون المميز b² − 4ac سالباً، فيأتي الجذران مترافقين: a + bi وa − bi. الشرح في حل المعادلة التربيعية.

كيف أكتب i في الحاسبة العلمية؟

لا زر له في الحاسبة العلمية في RaqamX، ولا وضع لحساب المركبة مباشرة. لكنها تعرض الجذور المركبة عند حل التربيعية والتكعيبية في وضع المعادلات.

خلاصة تنفعك في الامتحان

حين ترى i² في أي سطر، بدّلها بـ −1 فوراً قبل أي خطوة أخرى. وحين ترى i في مقام، اضرب في المرافق. قاعدتان فقط تكفيان نصف أسئلة الباب. وللتدرب على المعادلات التي تنتج هذه الجذور اقرأ المعادلات التكعيبية ونظام ثلاث معادلات.