ماذا تفعل حين يظهر z فجأة بجانب x وy، أو حين تتحول x² إلى x³؟

يتعلم الطالب حل معادلتين بمجهولين، ثم يباغته سؤال بثلاثة مجاهيل، أو معادلة من الدرجة الثالثة. هنا يتوقف كثيرون. سأشرح حل المعادلة التكعيبية ونظام ثلاث معادلات بثلاثة مجاهيل كما أشرحهما في الحصة: باليد أولاً حتى تفهم ما يجري، ثم بالحاسبة لتطمئن إلى جوابك قبل تسليم الورقة.

الموضوعان مختلفان في الشكل، ويجمعهما شيء واحد: ترتيب دقيق للمعاملات. إشارة سالبة واحدة تضيع في الطريق، ويفسد الحل كله.

نظام ثلاث معادلات

ثلاث معادلات، في كل منها x وy وz مضروبة في أعداد، وطرفها الأيمن عدد. الفكرة في الحل اليدوي: تخلّص من مجهول واحد، فتبقى معادلتان بمجهولين، ثم أكمل كما تعلمت. اسمها طريقة الحذف.

محل عصائر سارة

ثلاثة أصناف: برتقال (x)، ومانجو (y)، وفراولة (z). ثلاث طلبات في يوم واحد:

  • كوبا برتقال وكوب مانجو وكوب فراولة بـ 15 ريالاً: 2x + y + z = 15
  • كوب برتقال وكوبا مانجو وكوب فراولة بـ 16 ريالاً: x + 2y + z = 16
  • كوب برتقال وكوب مانجو وكوبا فراولة بـ 17 ريالاً: x + y + 2z = 17

ما سعر كل كوب؟

  • اطرح الثانية من الأولى فتختفي z: x − y = −1، أي y = x + 1.
  • اطرح الثالثة من الثانية: y − z = −1، أي z = y + 1 = x + 2.
  • عوّض في الأولى: 2x + (x + 1) + (x + 2) = 15، فـ 4x + 3 = 15، وx = 3.
  • إذن y = 4، وz = 5.

البرتقال بـ 3 ريالات، والمانجو بـ 4، والفراولة بـ 5. وفي الثالثة للتحقق: 3 + 4 + 10 = 17. صحيح.

أرقام هذا المثال متعاونة. في الامتحان قد لا تكون كذلك، وهناك تنفعك الحاسبة للتحقق.

المعادلة التكعيبية باليد

الصورة العامة ax³ + bx² + cx + d = 0، وa ≠ 0. لها دائماً ثلاثة جذور إن عددنا المركبة والمكررة، ومنها جذر حقيقي واحد على الأقل.

لا قانون عاماً سهلاً لها في المنهج كما في التربيعية. الطريق المعتاد:

  1. خمّن جذراً صحيحاً من بين قواسم الحد الثابت d.
  2. جرّبها واحداً واحداً حتى يعطيك أحدها صفراً.
  3. اقسم على (x − الجذر)، فتبقى تربيعية تحلها بالقانون العام.

مثال محلول

x³ − 2x² − 5x + 6 = 0.

قواسم 6: ±1، ±2، ±3، ±6. جرّب x = 1: 1 − 2 − 5 + 6 = 0. وجدنا جذراً.

(x − 1) عامل. القسمة عليه تعطي x² − x − 6، وهي تتحلل إلى (x − 3)(x + 2).

الجذور: x = 1، وx = 3، وx = −2.

صندوق الكرتون

أبعاده x وx + 1 وx + 2 سنتيمتراً، وحجمه 60 سم³. ما أبعاده؟

x(x + 1)(x + 2) = 60، وبعد الفك: x³ + 3x² + 2x − 60 = 0. جرّب x = 3: 27 + 27 + 6 − 60 = 0. ممتاز.

بعد القسمة على (x − 3) تبقى x² + 6x + 20، ومميزها 36 − 80 = −44. سالب، فجذراها مركبان: −3 + √11 i و−3 − √11 i. الطول لا يكون مركباً، فالجواب الوحيد x = 3، والأبعاد 3 و4 و5 سم.

وهذه نقطة يغفلها الطلاب: الحاسبة تعطيك كل الجذور، وأنت من يقرر أيها يصلح للمسألة.

على الحاسبة العلمية في RaqamX

الحاسبة العلمية تحل الاثنين في وضع «معادلات». لا تكتب المعادلة كاملة؛ تُدخل معاملاتها في جدول.

النظام الثلاثي (مثال سارة):

  1. اضغط تبويب «معادلات»، ثم 2 لاختيار anX+bnY+cnZ=dn.
  2. جدول من ثلاثة صفوف وأربعة أعمدة a وb وc وd. الصف الأول: 2 =، 1 =، 1 =، 15 =.
  3. الثاني: 1 = 2 = 1 = 16 =، والثالث: 1 = 1 = 2 = 17 =.
  4. اضغط = مرة أخرى. تظهر X=3 وY=4 وZ=5.

المعادلة التكعيبية:

  1. اضغط ≡ واختر 4 (aX³+bX²+cX+d=0).
  2. أدخل 1 =، ثم (−) 2 =، ثم (−) 5 =، ثم 6 =.
  3. اضغط = لعرض الجذور: X1=3 وX2=1 وX3=−2. الحقيقية تظهر من الأكبر إلى الأصغر، وتتنقل بينها بـ ▲ و▼.

وفي مسألة الصندوق أدخل 1 و3 و2 و(−) 60، فتظهر X1=3 أولاً، ثم الجذران المركبان بالرمز i. لتعديل معامل دون إعادة كل شيء اضغط ≡ ثم 5 (Edit coefficients). تفاصيل الوضع في دليل وضع المعادلات.

أخطاء أراها كل عام

  • الحد الغائب. في x³ − 7x + 6 = 0 لا يوجد x²، فمعامله صفر. من يُدخل 1 ثم −7 ثم 6 فقط يجعل الحاسبة تحل معادلة أخرى تماماً. الحاسبة تعدّ الخانة الفارغة صفراً، لكنها لا تعرف أي خانة قصدت.
  • ترتيب المجاهيل. x في العمود الأول دائماً، وy في الثاني، وz في الثالث. معادلة مكتوبة z + 2x = 7 تُرتّب أولاً: 2x + 0y + z = 7.
  • الطرف الأيمن في التكعيبية. الوضع يحل معادلة طرفها الأيمن صفر. معادلة الصندوق x(x + 1)(x + 2) = 60 تحتاج نقل 60 إلى اليسار لتصبح −60.
  • No Solution أو Infinite Solution. ليستا عطلاً. معناهما أن المعادلات متناقضة، أو أن إحداها تكرار لأخرى بصورة مختلفة. راجع المسألة قبل أن تراجع الأزرار.

تمارين مع الحلول

  1. حل النظام: x + y + z = 6، و2x − y + z = 3، وx + 2y − z = 2. (الجواب: x = 1، وy = 2، وz = 3)
  2. حل x³ − 7x + 6 = 0. (الجواب: 2 و1 و−3، ومعامل x² صفر)
  3. حل x³ + x² + x + 1 = 0. (الجواب: x = −1 حقيقي، ثم المركبان i و−i)

جرّب الثالث باليد قبل الحاسبة: جمّع الحدود مثنى مثنى، x²(x + 1) + (x + 1)، وسيظهر لك العامل المشترك.

أسئلة شائعة

كيف أحل معادلة من الدرجة الثالثة دون حاسبة؟

ابحث عن جذر صحيح بين قواسم الحد الثابت، ثم اقسم على (x − الجذر) بالقسمة المطولة أو التركيبية، وحل التربيعية الباقية بالقانون العام. هذا يكفي معظم مسائل المنهج.

هل لكل معادلة تكعيبية حل حقيقي؟

نعم، إن كانت معاملاتها حقيقية. منحناها يقطع محور x مرة واحدة على الأقل. والجذران الآخران حقيقيان أو مركبان مترافقان.

كيف أحل ثلاث معادلات بسرعة؟

باليد بالحذف: تخلّص من مجهول بطرح معادلتين، وكرر مع زوج آخر، فتصل إلى معادلتين بمجهولين. وللتأكد أدخل المعاملات في وضع المعادلات. ويمكن الحل بالمصفوفات أيضاً، كما في المصفوفات.

لماذا تظهر الحلول كسوراً؟

الحاسبة تعرض الحل الدقيق كسراً أو جذراً كلما أمكن، مثل −1/2 أو √11. أدق من العشري، وهو الشكل الذي يطلبه المعلم غالباً.

نصيحة قبل الإدخال

اكتب المعادلة كاملة بكل حدودها، حتى ما معامله صفر: x³ + 0x² − 7x + 6 = 0. هذا السطر الواحد يمنع أكثر أخطاء الإدخال شيوعاً. وإن لم تكن مرتاحاً بعد مع المجهولين أو القانون العام، فارجع إلى نظام معادلتين خطيتين وحل المعادلة التربيعية؛ عليهما يُبنى كل ما هنا.