التحويل من الدرجات إلى الراديان ومتى تستخدم كلاً منهما

لماذا تعطيك الحاسبة sin 30 = −0.9880316241 بدل 0.5؟

تعيد المحاولة. النتيجة نفسها. أرى هذا المشهد قبل كل امتحان تقريباً، والسبب لا يتغير: الحاسبة على الراديان، وأنت تفكر بالدرجات. فهم التحويل من الدرجات إلى الراديان يحل المشكلة من جذورها، ويفسّر لك لماذا يتمسك أساتذة التفاضل بالراديان.

الدرجة والراديان

الدرجة نعرفها منذ الابتدائية: الدورة الكاملة 360، والقائمة 90.

الراديان يولد من الدائرة نفسها. ارسم دائرة نصف قطرها r، وخذ على محيطها قوساً طوله r أيضاً. الزاوية المركزية المقابلة لهذا القوس هي راديان واحد. والمحيط كله 2πr، فالدورة فيها 2π راديان.

ومن هنا العلاقة التي يقوم عليها كل شيء:

360° = 2π راديان، أي 180° = π راديان

الراديان الواحد = 180 ÷ π ≈ 57.2958 درجة. زاوية أكبر مما يتوقعه أغلب الناس.

قانونا التحويل

• الراديان = الدرجات × π ÷ 180
• الدرجات = الراديان × 180 ÷ π

وهذه الزوايا ستحفظها من كثرة ما تمر بها:

أمثلة محلولة

60° إلى راديان: 60 × π ÷ 180 = π/3، وعشرياً 3.14159 ÷ 3 ≈ 1.0472 راديان. اختصرنا 60/180 إلى 1/3 قبل أي حساب؛ عادة توفّر الوقت.

2.5 راديان إلى درجات: 2.5 × 180 ÷ π = 450 ÷ 3.14159 ≈ 143.24°.

جهاز الري في مزرعة سعيد

ذراع ري دائري طولها 400 متر، تدور حول نقطة ثابتة 30° في الساعة. ما طول القوس الذي يقطعه طرفها؟ وما المساحة التي رُويت؟

القانونان هنا لا يعملان إلا بالراديان:

• طول القوس: s = r × θ
• مساحة القطاع: A = ½ × r² × θ

نحوّل أولاً: 30° = π/6 ≈ 0.5236 راديان.

s = 400 × 0.5236 ≈ 209.44 متر

A = ½ × 400² × 0.5236 = 80000 × 0.5236 ≈ 41888 متراً مربعاً

ولو عوّضت θ = 30 مباشرة؟ قوس طوله 12000 متر من ذراع طولها 400. رقم سخيف، وهو أوضح إنذار بأنك نسيت التحويل.

متى تستعمل كلاً منهما؟

الدرجات في:

• الهندسة المدرسية والمثلثات.
• المساحة والخرائط والبوصلة.
• رسومات البناء والنجارة.

وتقبل الدرجة الأجزاء: الدرجة 60 دقيقة، والدقيقة 60 ثانية، كما في إحداثيات الخرائط.

الراديان في:

• التفاضل والتكامل؛ فمشتقة sin x هي cos x فقط إذا كانت x بالراديان.
• الفيزياء: السرعة الزاوية والحركة الدورانية.
• أي قانون فيه طول قوس أو مساحة قطاع.
• رسم الدوال المثلثية.

قاعدة سريعة: ظهرت π في الزاوية؟ فهي بالراديان غالباً. ظهر الرمز °؟ فهي بالدرجات. والسؤال في التفاضل؟ اضبط الحاسبة على الراديان قبل أن تكتب حرفاً.

قد تنجو في الصف العاشر دون إتقان التحويل. في الثاني عشر والجامعة لن تنجو؛ كل سؤال في الدوال المثلثية يفترض أنك تنتقل بين الوحدتين دون تفكير. تدرّب على الجدول حتى تكتب π/4 بمجرد أن ترى 45°.

تغيير الوحدة على حاسبة RaqamX العلمية

الحاسبة العلمية تبدأ بالدرجات، ويظهر الحرف D أعلى الشاشة.

1. اضغط SHIFT ثم ≡ (DRG). تتحول الوحدة إلى الراديان ويظهر R.
2. كررها للانتقال إلى الغراد G، ومرة ثالثة للعودة إلى D.
3. للتجربة: في وضع D اضغط sin ثم 30 ثم =، فتظهر 1/2. بدّل إلى R وأعد العملية، فتظهر −0.9880316241، لأن الحاسبة قرأت 30 راديان.
4. للتحويل: 60 × π ÷ 180 =، فتظهر π/3، و⇄ تعطي 1.047197551.
5. وللعكس: 2.5 × 180 ÷ π = تعطي 143.2394488.

إن ظهرت النتيجة كسراً غريباً، كما في 400 × 30 × π ÷ 180، فاضغط ⇄ لتراها عشرية: 209.4395102. وانتبه عند التنقل: الحاسبة الرسومية تبدأ بالراديان. تفاصيل أكثر في دليل الحساب العلمي.

أخطاء شائعة

• وحدة منسية على الحاسبة. انظر إلى الحرف أعلى الشاشة قبل أي سؤال مثلثات. ثانيتان تنقذان درجات السؤال كله.
• الدوال العكسية تتبع الوحدة الحالية. sin⁻¹(0.5) تعطي 30 بالدرجات وπ/6 بالراديان. الجوابان صحيحان، لكن السؤال يطلب أحدهما.
• تكامل واشتقاق بالدرجات. تكامل دالة مثلثية والحاسبة على D يعطي نتيجة خاطئة. في التفاضل والتكامل الراديان إلزامي، كما في التكامل والمشتقة ومجموع المتسلسلات.
• الغراد بالخطأ. وحدة نادرة، دورتها 400. ظهر الحرف G؟ غالباً ضغطت مرة زائدة.

تمارين

1. حوّل 135° إلى راديان.
2. حوّل 0.8 راديان إلى درجات.
3. عجلة نصف قطرها 0.3 متر دارت زاوية 2 راديان. كم قطعت نقطة على حافتها؟

الإجابات: 1) 135 × π ÷ 180 = 3π/4 ≈ 2.3562 راديان. 2) 0.8 × 180 ÷ π ≈ 45.84°. 3) s = 0.3 × 2 = 0.6 متر، بلا تحويل لأن الزاوية بالراديان أصلاً.

أسئلة شائعة

كيف أحوّل من الدرجات إلى الراديان؟

اضرب الزاوية في π واقسم على 180. 90° = 90 × π ÷ 180 = π/2.

لماذا تعطيني الحاسبة sin 30 = −0.988؟

لأنها على الراديان، فحسبت جيب 30 راديان لا 30 درجة. غيّر الوحدة إلى الدرجات (في RaqamX: SHIFT ثم ≡ حتى يظهر D) وأعد الحساب.

كم درجة في الراديان الواحد؟

نحو 57.2958 درجة، أي 180 ÷ π.

لماذا الراديان في التفاضل؟

لأن قوانين الاشتقاق، مثل مشتقة sin x = cos x، لا تصح إلا والزاوية بالراديان. بالدرجات يظهر معامل إضافي π/180 في كل مشتقة.

عادة واحدة تكفي

اجعل أول حركة في أي سؤال مثلثات نظرة إلى الحرف أعلى الشاشة. D أم R؟ ثم ابدأ. ومن يراجع لامتحان قريب سيجد هذا الخطأ وأخواته في أخطاء الحاسبة في الامتحان.