هل تريد أن تشتق (3x² + 1)⁵ من التعريف بالنهاية، بعد فك القوس الخامس؟
لا أحد يريد. يفهم الطالب التعريف، ثم يكتشف سريعاً أن الحساب منه طويل ومرهق. لهذا وُضعت قواعد الاشتقاق: مجموعة صغيرة تكفيك لاشتقاق أغلب ما تقابله في المدرسة، في سطر أو سطرين.
سنمر على كل قاعدة بمثال محلول، ثم نتحقق من الجواب في وضع جبر رمزي على الحاسبة الرسومية. وإن لم تتضح لك فكرة المشتقة بعد، فابدأ بـ ما هي المشتقة؟ ثم عُد.
الجدول الذي يُحفظ أولاً
| الدالة | مشتقتها |
|---|---|
| عدد ثابت c | 0 |
| xⁿ | n·xⁿ⁻¹ |
| c·f(x) | c·f'(x) |
| f(x) ± g(x) | f'(x) ± g'(x) |
| sin(x) | cos(x) |
| cos(x) | −sin(x) |
| eˣ | eˣ |
| ln(x) | 1/x |
قاعدة القوة أكثرها استعمالاً: انزل بالأس إلى الأمام، واطرح منه واحداً. x⁵ تصير 5x⁴، وx تصير 1، والثابت 7 يصير صفراً لأنه لا يتغير.
كثيرة حدود
اشتق f(x) = 3x⁴ − 5x² + 7x − 2. كل حد وحده:
- 3x⁴ ← 3 × 4x³ = 12x³
- 5x² ← 10x
- 7x ← 7
- −2 ← يختفي
f'(x) = 12x³ − 10x + 7
ربح أبي خالد
يبيع أبو خالد العسل، ووجد أن ربحه الأسبوعي بالريال، إذا باع العلبة بـ x ريالاً، يقارب P(x) = −2x² + 120x − 500. أي سعر يعطيه أكبر ربح؟
P'(x) = −4x + 120. عند القمة الميل صفر: −4x + 120 = 0، فـ x = 30 ريالاً. والربح عندها P(30) = −1800 + 3600 − 500 = 1300 ريال. سؤال يتكرر قبل كل امتحان، وكله على قاعدة القوة وحدها.
قاعدة الضرب
(u·v)' = u'·v + u·v'
اشتق f(x) = x²·sin(x). u = x² فـ u' = 2x، وv = sin(x) فـ v' = cos(x):
f'(x) = 2x·sin(x) + x²·cos(x)
الخطأ المنتشر: 2x·cos(x)، أي ضرب المشتقتين. خطأ في كل الحالات تقريباً، ولو صح لما احتجنا إلى قاعدة أصلاً.
قاعدة القسمة
(u/v)' = (u'·v − u·v') ÷ v²
ترتيب البسط مهم، فالطرح ليس تبديلياً. جملة يرددها الطلاب وتنفع: «مشتقة الأعلى في الأسفل، ناقص الأعلى في مشتقة الأسفل، على مربع الأسفل».
اشتق f(x) = (2x + 1)/(x − 3). u = 2x + 1 وu' = 2، وv = x − 3 وv' = 1:
f'(x) = (2(x − 3) − (2x + 1)·1) ÷ (x − 3)² = (2x − 6 − 2x − 1) ÷ (x − 3)²
f'(x) = −7 ÷ (x − 3)²
القوس حول (2x + 1) ليس زينة. من دونه تنقلب −1 موجبة، ويخرج −5 بدل −7.
قاعدة السلسلة
للدوال المركّبة، دالة داخل دالة: اشتق الخارجية واترك ما في داخلها كما هو، ثم اضرب في مشتقة الداخل.
(f(g(x)))' = f'(g(x))·g'(x)
(3x² + 1)⁵: الخارج قوة خامسة، والداخل 3x² + 1 ومشتقته 6x.
f'(x) = 5(3x² + 1)⁴ × 6x = 30x(3x² + 1)⁴
ln(x² + 1): مشتقة ln(u) هي 1/u، ثم في مشتقة الداخل 2x:
f'(x) = 2x ÷ (x² + 1)
وعلى المنوال نفسه: e^(2x) تصير 2e^(2x)، وsin(x²) تصير 2x·cos(x²).
التحقق بوضع الجبر الرمزي
الحاسبة لا تحل عنك، لكنها تخبرك إن أخطأت قبل أن تسلّم الورقة. وضع جبر رمزي يشتق بدلالة x ويعطيك صيغة، لا رقماً.
لكثيرة الحدود:
- اختر جبر رمزي من الأزرار فوق الشاشة.
- اكتب 3 ثم x ثم xⁿ ثم 4، ثم − 5 ثم x ثم x²، ثم + 7 ثم x، ثم − 2.
- اضغط F3 (d/dx).
- تظهر 12·x³ + 7 − 10·x: الجواب نفسه بترتيب آخر للحدود.
- EXE أو AC للعودة إلى العبارة.
ولـ (3x² + 1)⁵: اكتب ( 3 x x² + 1 ) ثم xⁿ ثم 5، ثم F3، فتظهر 30·x·(3·x² + 1)^4. ولـ ln: ln ثم x x² + 1 ثم )، ثم F3، فتظهر 2·x / (x² + 1). ولـ e^(2x): SHIFT ثم ln لكتابة eⁿ، ثم 2 x.
ملاحظة من التجربة: مشتقات القسمة قد تظهر بصورة غير مرتبة، كسور داخل كسور، رغم صحتها. في مثالنا لن ترى −7/(x − 3)² بهذا الاختصار. الحل: تحقق بالتعويض عند نقطة. اختر حساب، ثم SHIFT ثم ∫ (d/dx)، واكتب ( 2 x + 1 ) ÷ ( x − 3 )، ثم ▶ و4، ثم EXE. تظهر −7، ومن صيغتك −7 ÷ (4 − 3)² = −7. تطابق.
أوامر F1 إلى F4 كلها في دليل الجبر الرمزي.
أخطاء شائعة
- نسيان مشتقة الداخل في السلسلة. (3x² + 1)⁵ ليست مشتقتها 5(3x² + 1)⁴ فقط.
- ضرب المشتقتين بدل قاعدة الضرب.
- قلب ترتيب البسط في القسمة، فتنقلب الإشارة.
- ln(x² + 1) ← 1/(x² + 1) والتوقف، دون الضرب في 2x.
- على الحاسبة: زر − بدل (−) في أول العبارة، أو قوس لم يُغلق بعد sin أو ln.
تمارين مع الإجابات
- اشتق f(x) = 5x³ − 4x + 9. الإجابة: f'(x) = 15x² − 4.
- اشتق f(x) = x·eˣ بقاعدة الضرب. الإجابة: f'(x) = eˣ + x·eˣ = eˣ(x + 1)، ويكتبها الجبر الرمزي e^x·(x + 1).
- اشتق f(x) = sin(x²) واحسبها عند x = 0. الإجابة: f'(x) = 2x·cos(x²)، وعند x = 0 تساوي صفراً.
أسئلة شائعة
ما قواعد الاشتقاق الأساسية؟
الثابت، والقوة، والمجموع والفرق، ثم الضرب والقسمة والسلسلة، ومعها مشتقات الدوال الشهيرة: sin وcos وeˣ وln.
متى أستعمل السلسلة؟
كلما رأيت دالة داخل دالة: قوس مرفوع لقوة، أو sin لشيء غير x وحدها، أو ln لعبارة. علامتها أن الداخل ليس x البسيطة.
هل أشتق الكسر دون قاعدة القسمة؟
أحياناً. إن كان المقام x أو قوة منها، فاكتب الكسر بأس سالب واستعمل القوة: 3/x² = 3x⁻²، ومشتقتها −6x⁻³.
كيف أتأكد أن مشتقتي صحيحة؟
اكتب الدالة في وضع جبر رمزي واضغط F3 وقارن، أو احسب المشتقة عند نقطة بـ d/dx في وضع حساب وعوّض النقطة نفسها في جوابك.
نصيحة عملية
قبل أن تشتق، سمِّ القاعدة بصوت مسموع في ذهنك: «ضرب»، «سلسلة»، «قسمة». تسمية القاعدة أولاً تمنع الخلط بينها، وهو مصدر أغلب الأخطاء هنا. وللاتجاه المعاكس للاشتقاق اقرأ المساحة تحت المنحنى بالتكامل المحدد.