رسم الدوال وإيجاد جذور الدالة بالحاسبة الرسومية مع أمثلة

كيف تحل x³ − 3x + 1 = 0 إذا فشل التحليل ولم تجد قانوناً؟

ترسمها. يأتيني بهذا السؤال طالب كل عام، وقد جرّب كل شيء إلا الرسم. حين ترى المنحنى تعرف كم حلاً للمعادلة قبل أن تحسب شيئاً، وأين يقع كل حل تقريباً. هذا موضوعنا: رسم الدوال وإيجاد جذور الدالة على الحاسبة الرسومية.

ما الجذر؟

جذر الدالة f هو كل x تجعل f(x) = 0. وعلى الرسم هو النقطة التي يقطع فيها المنحنى محور x أو يلمسه، لأن y هناك صفر.

إذن «حل المعادلة f(x) = 0» و«أين يقطع منحنى f محور x؟» سؤال واحد بصيغتين. وحين تصعب المعادلة جبرياً، تسهل الصيغة الثانية.

وماذا عن cos(x) = x، وطرفاها ليسا صفراً؟ انقل كل شيء إلى طرف واحد: cos(x) − x = 0، ثم ابحث عن جذور الدالة الجديدة.

دالة تربيعية نعرف حلها

نبدأ بما نحله باليد، لنثق بما ستقوله الحاسبة: y = x² − 2x − 2.

a = 1، وb = −2، وc = −2. المميز Δ = 4 + 8 = 12، فـ x = (2 ± √12) ÷ 2 = 1 ± √3:

• x ≈ 1 + 1.732 = 2.732
• x ≈ 1 − 1.732 = −0.732

والرأس عند x = 1، وقيمة الدالة هناك 1 − 2 − 2 = −3. القانون مشروح في حل المعادلة التربيعية.

على الحاسبة

1. اختر رسم بياني من الأزرار فوق الشاشة. تظهر قائمة الدوال من Y1= إلى Y6=.
2. في Y1: x ثم x² ثم − ثم 2 ثم x ثم − ثم 2، ثم EXE.
3. F6 (DRAW). يظهر المنحنى في النافذة الأصلية: من −6.3 إلى 6.3 أفقياً، ومن −3.1 إلى 3.1 رأسياً.
4. F5 (ROOT). تقف النقطة على أول جذر من اليسار، ويظهر ROOT مع X=−0.7320508076 وY=0.
5. F5 مرة أخرى: X=2.732050808.
6. F5 ثالثة: Not Found، أي لا جذور أخرى إلى اليمين في النافذة.

مطابقة للحل اليدوي حتى ست منازل. ولقراءة الرأس اضغط F1 (TRCE)، فتظهر نقطة في الوسط عند X=0. كل ضغطة ▶ تحركها عُشراً، وبعد عشر ضغطات تصل إلى X=1 وتقرأ Y=−3.

التكعيبية العنيدة

نعود إلى سؤال الطالب: y = x³ − 3x + 1.

قبل الحاسبة، فكّر:

• y(−2) = −8 + 6 + 1 = −1، وy(−1) = −1 + 3 + 1 = 3. الإشارة تغيّرت: جذر بين −2 و−1.
• y(0) = 1، وy(1) = −1: جذر بين 0 و1.
• y(2) = 3: جذر ثالث بين 1 و2.

ثلاثة جذور، ولا واحد منها صحيح.

على الحاسبة: ارجع إلى القائمة بـ F6 (EDIT)، وامسح Y1 بـ F1 (DEL)، واكتب x ثم xⁿ ثم 3 ثم ▶ ثم − 3 x + 1، ثم EXE وF6. ثلاث ضغطات على F5:

كل جذر في الفترة التي توقعناها. هذه العادة، أن تتوقع قبل أن تضغط، تمنعك من قبول رقم خاطئ سببه دالة كُتبت خطأ. وللحل الجبري الكامل للتكعيبية في وضع المعادلات راجع المعادلة التكعيبية ونظام ثلاث معادلات.

معادلة بلا حل جبري

cos(x) = x. لا تحليل ولا قانون. في Y1: cos ثم x ثم ) ثم − ثم x، ثم EXE وF6 وF5. جذر واحد: X=0.739085.

لترى المعنى بعينك: cos(x) في Y1، وx في Y2، وارسمهما معاً. يتقاطعان عند x ≈ 0.739. لكن ROOT يبحث عن تقاطع دالة واحدة مع محور x، فنحسب الجذر من دالة الفرق.

الحاسبة الرسومية تبدأ بالراديان، وهو المطلوب هنا. غيّرتها إلى الدرجات سابقاً؟ أعدها بـ SHIFT ثم ≡ (DRG)، وإلا تغيّر الرسم كله. الفرق بين الوحدتين في الدرجات والراديان.

الجذر الهارب من الشاشة

ارسم y = x² − 10x + 16. F5 تعطي X=2، ومرة أخرى Not Found. جذر واحد؟ لا. الثاني x = 8، لكنه خارج نافذة تنتهي عند 6.3، وROOT لا يبحث إلا فيما تراه.

اضغط F3 (ZM−) للتصغير، فتتسع النافذة إلى −12.6 حتى 12.6، ثم F5 مرتين: X=2 ثم X=8. أو حرّك النافذة بالأسهم قبل تفعيل التتبع. الأزرار كلها في دليل رسم الدوال.

والجبر الرمزي؟

لقائمة جذور مكتوبة: اختر جبر رمزي، واكتب العبارة، مثل x x² − 2 x − 2، ثم F4 (solv). تظهر x=−0.732050807569 وx=2.73205080757. الرسم يريك الشكل، والجبر الرمزي يعطيك أرقاماً أدق. الاثنان معاً أفضل من أي واحد منهما.

أخطاء أراها كثيراً

• قوس مفتوح. cos وsin وln تفتح قوساً تلقائياً. cos ثم x ثم − ثم x دون إغلاق تعني cos(x − x) = 1: خط أفقي بلا جذور.
• التتبّع ليس جذراً. تحريك النقطة بـ ▶ قرب المحور يعطيك Y=0.1 أو Y=−0.05. هذه نقاط قريبة، لا جذور. استعمل F5 دائماً.
• Not Found لا تعني «لا جذور». تعني لا جذور في النافذة الحالية. صغّر وأعد المحاولة قبل أن تكتب أن المعادلة بلا حل.
• أكثر من دالة على الشاشة. ROOT يعمل على دالة واحدة. فعّل التتبع بـ F1، واختر الدالة بـ ▲ ▼، ثم F5.

تمارين مع الإجابات

1. جد جذور y = 2x² − 3x − 2 بالرسم، وتحقق بالقانون. الإجابة: X=−0.5 وX=2، والمميز 9 + 16 = 25.
2. ارسم y = x² + 1. كم جذراً؟ الإجابة: لا جذور حقيقية. المنحنى كله فوق المحور، وF5 تعطي Not Found مهما صغّرت، والمميز −4 سالب.
3. جد جذر y = ln(x) − 1. الإجابة: X=2.718281828، أي العدد e، لأن ln(e) = 1. أغلق قوس ln قبل − 1.

أسئلة شائعة

ما معنى جذور الدالة بيانياً؟

نقاط تقاطع المنحنى مع محور x، حيث y = 0.

كيف أجدها بالحاسبة الرسومية؟

اكتب الدالة في Y1، وارسمها بـ F6، ثم F5 (ROOT) للجذر الأول، ومرة أخرى لكل جذر تالٍ إلى اليمين.

لماذا تظهر Not Found؟

لا جذر في الجزء المعروض. صغّر بـ F3 أو حرّك النافذة. وإن بقيت الرسالة والمنحنى بعيد عن المحور، فالدالة غالباً بلا جذور حقيقية.

كم دالة أرسم معاً؟

حتى ست، من Y1 إلى Y6، كل واحدة بلون.

قبل أن تضغط F5

عوّض ثلاث قيم أو أربعاً في الدالة ذهنياً، وابحث عن تغيّر الإشارة. ستعرف عدد الجذور ومواقعها تقريباً قبل الرسم، فلا يخدعك رقم غريب. وإن أردت أن تعرف أين يصعد المنحنى وأين ينزل، فتلك حكاية الميل والمشتقة في ما هي المشتقة.