التكامل المحدد بالحاسبة العلمية مع المشتقة عند نقطة ومجموع Σ

«أستاذ، كيف أتأكد من جوابي؟» سؤال أسمعه بصيغ كثيرة في الأيام التي تسبق امتحان التفاضل والتكامل.

الورقة تطلب الحل اليدوي. التحقق منه حقك. وفي الحاسبة العلمية من RaqamX ثلاث أدوات لهذا بالذات:

• ∫ للتكامل المحدد.
• d/dx للمشتقة عند نقطة.
• Σ لمجموع المتسلسلات.

الثلاث تعمل بمنطق واحد. افهم واحدة تفهم البقية. لكل أداة مثال نحله باليد أولاً، ثم نكتب أزراره بالترتيب على الحاسبة العلمية.

المنطق المشترك: قالب بخانات

حين تضغط ∫ أو d/dx أو Σ لا تحصل على رمز فقط، بل على قالب فيه خانات فارغة. المؤشر يبدأ في خانة الدالة دائماً. تكتب الدالة بزر x، ثم تضغط ▶ لتنتقل إلى الخانة التالية:

قاعدة واحدة تنقذك من نصف الأخطاء: إذا كان داخل الدالة قالب آخر، مثل √ أو xⁿ أو eⁿ، فأول ▶ يُخرجك منه، والثانية تنقلك إلى الخانة التالية.

التكامل المحدد بالحاسبة: كمية تراكمت

التكامل المحدد يجمع كمية تتغير باستمرار. خذ خزان ماء فوق سطح بيت أبو سالم. المضخة تبدأ ببطء ثم تتسارع، ومعدل تدفق الماء بعد t دقيقة هو 2t + 1 لتر في الدقيقة. كم لتراً دخل الخزان في أول 10 دقائق؟

لا نستطيع ضرب المعدل في الزمن لأن المعدل يتغير. نكامل:

∫ من 0 إلى 10 لـ (2t + 1) dt

الدالة الأصلية لـ 2t + 1 هي t² + t. نعوّض الحدين:

(10² + 10) − (0 + 0) = 110

دخل الخزان 110 لترات.

على الحاسبة نستعمل x بدل t، فالحرف لا يغيّر شيئاً:

1. اضغط ∫.
2. اكتب 2 ثم x ثم + ثم 1.
3. اضغط ▶ واكتب 0، ثم ▶ واكتب 10.
4. اضغط = فتظهر 110.

مثال ثانٍ فيه قالب داخل قالب: ∫ من 0 إلى 1 لـ eˣ dx. الدالة الأصلية eˣ نفسها، فالجواب e − 1 ≈ 1.718281828. على الحاسبة: ∫، ثم SHIFT ثم ln لتكتب eⁿ، ثم x، ثم ▶ مرتين، ثم 0، ثم ▶ و 1، ثم =. تظهر 1.718281828.

إن أردت أن تفهم لماذا يمثّل التكامل مساحة، ومتى يعطيك رقماً سالباً، فاقرأ المساحة تحت المنحنى.

المشتقة عند نقطة: سرعة التغيّر الآن

مصنع صغير للتمور يحسب تكلفة إنتاج x كرتونة بالدينار بالدالة C(x) = x² + 20x. كم تزيد التكلفة تقريباً إذا أنتج الكرتونة رقم 31 بعد أن وصل إلى 30؟ هذا ما يسميه الاقتصاديون التكلفة الحدّية، وهو المشتقة.

C'(x) = 2x + 20، و C'(30) = 60 + 20 = 80 ديناراً.

على الحاسبة:

1. اضغط SHIFT ثم ∫ لتظهر d/dx.
2. اكتب x ثم x² ثم + ثم 20 ثم x.
3. اضغط ▶ واكتب 30.
4. اضغط = فتظهر 80.

انتبه: الحاسبة تعطيك رقماً عند نقطة، لا صيغة المشتقة 2x + 20. الصيغة تحصل عليها بقواعد الاشتقاق، وهي في مقال قواعد الاشتقاق. ولمعنى المشتقة نفسه، أي الميل، اقرأ ما هي المشتقة.

فخ الدوال المثلثية

احسب مشتقة sin(x) عند x = π/3. باليد: المشتقة cos(x)، و cos(π/3) = 0.5.

الحاسبة العلمية تبدأ بوحدة الدرجات، ويظهر D أعلى الشاشة. لو كتبت الدالة كما هي وكتبت 60 ظناً أنها الزاوية نفسها، لظهر 0.00872664626. ما هذا الرقم؟ هو 0.5 مضروباً في π/180، لأن الحاسبة تشتق بالنسبة للدرجة لا للراديان.

الطريقة الصحيحة:

1. اضغط SHIFT ثم ≡ (DRG) حتى يظهر R.
2. اضغط SHIFT ثم ∫، ثم sin ثم x ثم ). أغلق القوس، فـ sin تفتحه وحدها.
3. اضغط ▶ واكتب π ÷ 3.
4. اضغط = فتظهر 1/2.

قاعدة أكررها لطلابي: التفاضل والتكامل مع الدوال المثلثية بالراديان دائماً. والسبب مشروح في الدرجات والراديان.

مجموع المتسلسلات Σ

الرمز Σ يعني «اجمع». نكتب الحد العام بدلالة x، ونحدد من أين نبدأ وأين ننتهي.

مثال: ما مجموع أول 20 عدداً فردياً؟ الأعداد الفردية 1، 3، 5، ... وحدها العام 2x − 1. هناك نتيجة جميلة: مجموع أول n عدد فردي يساوي n². إذن الجواب 20² = 400.

على الحاسبة: Σ، ثم 2 ثم x ثم − ثم 1، ثم ▶ و 1، ثم ▶ و 20، ثم =. تظهر 400.

مثال آخر: قطعة كعك تأكل نصفها، ثم نصف الباقي، ثم نصف الباقي، وهكذا عشر مرات. كم أكلت منها؟ المجموع ½ + ¼ + ⅛ + ... أي Σ من 1 إلى 10 لـ (½)ˣ.

على الحاسبة: Σ، ثم ( ثم a/b ثم 1 ثم ▼ ثم 2 ثم ▶ ثم )، ثم xⁿ ثم x، ثم ▶ مرتين، ثم 1، ثم ▶ و 10، ثم =. تظهر 1023/1024، واضغط ⇄ فتظهر 0.9990234375. المجموع يقترب من قطعة كاملة دون أن يصلها. للقوانين العامة لهذه المجاميع راجع المتتاليات الحسابية والهندسية، ولكل أدوات وضع حساب راجع دليل وضع الحساب.

أخطاء تتكرر قبل كل امتحان

• وحدة الزاوية. رقم صغير غريب مع sin أو cos؟ انظر إلى أعلى الشاشة قبل أي شيء.
• القوس المفتوح. sin و cos و ln تفتح قوساً. انسَ إغلاقه قبل ▶ فيدخل ما بعده في الدالة.
• عدد ضغطات ▶. بعد √ أو xⁿ أو eⁿ تحتاج ▶ مرتين. ضغطة واحدة تخرجك من القالب الداخلي وتبقيك في خانة الدالة، فيُكتب الحد الأدنى في المكان الخطأ، وغالباً تظهر Syntax ERROR.
• المتغير في Σ. الحد العام يُكتب بزر x، لا بحرف n ولا k كما في الكتاب. الحاسبة تعدّ x من البداية إلى النهاية.
• قبول أي رقم دون تفكير. قدّر الجواب قبل الضغط. في مثال الخزان كان المعدل بين 1 و 21 لتراً في الدقيقة لمدة 10 دقائق، فالجواب لا بد أن يقع بين 10 و 210 لترات. رقم خارج هذا المدى يعني خطأ في الكتابة، لا في الرياضيات.

تمارين مع الإجابات

1. احسب ∫ من 0 إلى 2 لـ x³ dx. الإجابة: x⁴/4 من 0 إلى 2 = 16/4 = 4. على الحاسبة اكتب x³ بـ x ثم SHIFT ثم x².
2. احسب مشتقة f(x) = x³ − 4x عند x = 1. الإجابة: f'(x) = 3x² − 4، و f'(1) = −1.
3. ما مجموع الأعداد من 1 إلى 50؟ الإجابة: 50 × 51 ÷ 2 = 1275، وعلى الحاسبة Σ لـ x من 1 إلى 50.

أسئلة شائعة

كيف أحسب التكامل المحدد بالحاسبة العلمية؟

اضغط ∫، واكتب الدالة بزر x، ثم ▶ واكتب الحد الأدنى، ثم ▶ والحد الأعلى، ثم =. وإن كانت الدالة مثلثية فحوّل الوحدة إلى الراديان أولاً.

هل تعطي الحاسبة صيغة المشتقة أم قيمتها؟

الحاسبة العلمية تعطي قيمة المشتقة عند نقطة تختارها. أما صيغة المشتقة بدلالة x فتحصل عليها من وضع الجبر الرمزي في الحاسبة الرسومية، أو باليد بقواعد الاشتقاق.

لماذا يظهر جواب التكامل مختلفاً عن الكتاب؟

في الغالب لأحد ثلاثة أسباب: وحدة الزاوية على الدرجات، أو قوس لم يُغلق، أو حد كُتب في الخانة الخطأ. راجعها بهذا الترتيب.

ما الحرف الذي أستعمله في Σ؟

استعمل x. الكتاب قد يكتب Σ لـ k أو n، والمعنى واحد، لكن الحاسبة تعدّ المتغير x.

نصيحة الدقيقة الأخيرة

اجعل الحاسبة مراجِعاً لا بديلاً. احسب باليد، ثم أدخل السؤال نفسه في القالب. إن اتفق الرقمان فانتقل إلى السؤال التالي مطمئناً. وإن اختلفا فراجع الوحدة والقوس وعدد ضغطات ▶ قبل أن تشك في رياضياتك.