الانحدار الخطي ومعامل الارتباط: الحساب اليدوي وبالحاسبة

كم كوب عصير يبيع المحل إذا بلغت الحرارة 38 درجة؟

صاحب محل عصير في عمّان يعرف بالخبرة أن مبيعاته تصعد مع الحرارة. لكن السؤال يطلب رقماً، لا إحساساً. وهذا ما يقدّمه الانحدار الخطي ومعامل الارتباط: الأول يعطيك معادلة خط تتنبأ بها، والثاني يخبرك هل تستحق هذه المعادلة ثقتك أصلاً.

سنحل مثالاً كاملاً باليد ونفسّر كل رقم، ثم نصل إلى النتائج نفسها من الحاسبة العلمية.

خط يمر «بين» النقاط

ارسم متغيرين، الحرارة x وعدد الأكواب y، فتحصل على نقاط متناثرة. إن بدت تسير في اتجاه واحد، نبحث عن أقرب خط مستقيم إليها جميعاً:

y = a + bx

• b، الميل: كم تزيد y حين تزيد x وحدة واحدة.
• a، المقطع: قيمة y حين x = 0.

الطريقة المعتمدة اسمها المربعات الصغرى: نختار a وb بحيث يكون مجموع مربعات المسافات الرأسية بين النقاط والخط أصغر ما يمكن. الاشتقاق لا يلزمك؛ الصيغ تكفي.

الصيغ

x̄ متوسط x، وȳ متوسط y. ثلاثة مجاميع:

• Sxx = مجموع (x − x̄)²
• Syy = مجموع (y − ȳ)²
• Sxy = مجموع (x − x̄)(y − ȳ)

ومنها:

• الميل: b = Sxy ÷ Sxx
• المقطع: a = ȳ − b × x̄
• معامل الارتباط: r = Sxy ÷ √(Sxx × Syy)

r بين −1 و1 دائماً. قرب 1: علاقة خطية طردية قوية. قرب −1: عكسية قوية. قرب الصفر: الخط المستقيم لا يصف البيانات.

الحرارة ومبيعات العصير باليد

خمسة أيام من سجل المحل:

المتوسطان: مجموع x = 150، فـ x̄ = 30. ومجموع y = 680، فـ ȳ = 136.

الانحرافات:

Sxy = 770، وSxx = 250، وSyy = 2398.

• الميل: b = 770 ÷ 250 = 3.08. كل درجة حرارة زائدة تعني نحو 3 أكواب إضافية.
• المقطع: a = 136 − 3.08 × 30 = 136 − 92.4 = 43.6.
• المعادلة: y = 43.6 + 3.08x
• الارتباط: r = 770 ÷ √(250 × 2398) = 770 ÷ √599500 ≈ 770 ÷ 774.27 ≈ 0.9945.

علاقة طردية قوية جداً. ومربعه r² ≈ 0.989 يُقرأ هكذا: نحو 98.9% من تغيّر عدد الأكواب في هذه الأيام الخمسة يفسّره تغيّر الحرارة.

التنبؤ عند 38 درجة: y = 43.6 + 3.08 × 38 = 43.6 + 117.04 = 160.64، أي نحو 161 كوباً.

حدود الثقة

عوّض 50 درجة: 197.6 كوباً. لكن بياناتنا كلها بين 20 و40، ولا نعرف ما يحدث خارجها. ربما يلزم الناس بيوتهم في الحر الشديد. التنبؤ داخل مجال البيانات استكمال داخلي، وهو معقول. خارجه استقراء، ويحتاج حذراً كبيراً.

على الحاسبة العلمية في RaqamX

الجدول أعلاه أخذ مني ربع ساعة. الحاسبة تحتاج أقل من دقيقة:

1. افتح الحاسبة العلمية واضغط تبويب إحصاء.
2. اضغط 2 لاختيار A+BX، فيظهر جدول بعمودي x وy.
3. قيم x: 20 =، 25 =، 30 =، 35 =، 40 =.
4. اضغط ▶ إلى عمود y، ثم ▲ حتى الصف الأول.
5. قيم y بالترتيب نفسه: 105 =، 118 =، 140 =، 152 =، 165 =.
6. اضغط ≡ ثم 3 (Statistics)، وانزل بـ ▼ إلى آخر القائمة.
7. اقرأ: a=43.6، وb=3.08، وr ≈ 0.99448.

وفي القائمة نفسها x̄=30 وȳ=136 وΣxy=21170، وتنفعك إن طلب المعلم الخطوات بالصيغة التي تستعمل المجاميع مباشرة.

للتنبؤ انتقل إلى حساب واكتب 43.6 + 3.08 × 38 ثم =، فتظهر 160.64. التفاصيل في دليل وضع الإحصاء.

أربعة فخاخ

• x وy بترتيبين مختلفين. كل صف نقطة واحدة. إزاحة قيمة واحدة في عمود y تقلب النتائج كلها.
• تبديل المتغيرين. انحدار y على x ليس انحدار x على y. اسأل: ما الذي أريد التنبؤ به؟ ذاك هو y. أما r فلا يتأثر بالتبديل.
• الارتباط ليس سببية. المثلجات وحوادث الغرق ترتفعان معاً في الصيف، والارتباط بينهما قوي، والمثلجات لا تُغرق أحداً. السبب المشترك هو الحر. r يقيس قوة العلاقة الخطية فقط.
• r مع علاقة غير خطية. نقاط على شكل قوس قد تعطي r قرب الصفر مع علاقة قوية جداً. ارسم البيانات أولاً.

تمارين مع الحلول

التمرين 1: x: 1، 2، 3، 4، وy: 3، 5، 7، 9. أوجد معادلة الانحدار وr.

الحل: كل زيادة في x بواحد تزيد y باثنين بالضبط. b = 2، وa = 6 − 2 × 2.5 = 1، فـ y = 1 + 2x، وr = 1 لأن النقاط كلها على الخط.

التمرين 2: إنفاق متجر إلكتروني على الإعلان x (بمئات الريالات): 2، 4، 6، 8، 10، والطلبات y: 15، 22، 28، 37، 43. أوجد خط الانحدار، وتنبأ بالطلبات عند إنفاق 700 ريال.

الحل: x̄ = 6 وȳ = 29، وSxy = 142 وSxx = 40، فـ b = 3.55 وa = 29 − 3.55 × 6 = 7.7. المعادلة y = 7.7 + 3.55x، وr ≈ 0.998. عند x = 7: y = 7.7 + 24.85 = 32.55، نحو 33 طلباً.

التمرين 3: عمر سيارة مستعملة بالسنوات x: 1، 2، 3، 4، 5، وسعرها y بآلاف الريالات: 80، 72، 61، 55، 47. ما إشارة r المتوقعة؟ ثم احسبه.

الحل: السعر يهبط مع العمر، فالعلاقة عكسية وr سالب. بالحاسبة: a = 87.9، وb = −8.3، وr ≈ −0.996. السيارة تخسر في المتوسط نحو 8300 ريال كل سنة في هذه البيانات.

أسئلة شائعة

ما معنى r = 0.7؟

علاقة خطية طردية متوسطة إلى قوية. التصنيفات تختلف بين الكتب، والشائع: فوق 0.7 بالقيمة المطلقة قوية، وبين 0.3 و0.7 متوسطة، ودون 0.3 ضعيفة.

ما الفرق بين r وr²؟

r يعطي الاتجاه والقوة، بين −1 و1. وr² بين 0 و1، ويمثّل نسبة تغيّر y التي يفسّرها خط الانحدار.

كم نقطة تكفي للانحدار؟

رياضياً نقطتان، لكن الخط يمر بهما تماماً وr = ±1 دائماً، فلا معنى للنتيجة. كلما زادت النقاط زادت الثقة.

هل يكون b موجباً وr سالباً؟

لا. للاثنين الإشارة نفسها دائماً، فكلاهما يأخذها من Sxy.

قبل أن تصدّق أي معادلة

ارسم النقاط أولاً، ولو على ورقة. إن لم تبدُ على خط تقريباً، فلا قيمة لـ r مهما كان، ولا معنى للتنبؤ. وإن كانت لديك فجوة في الأساسيات فابدأ بـ المتوسط والانحراف المعياري، ولترى الخط مرسوماً فوق محور اقرأ رسم الدوال وإيجاد الجذور.