كم مرة تضرب 10 في نفسها لتصل إلى 1000؟
ثلاث. إذن log 1000 = 3. هذا هو الدرس كله في سطر.
يرى الطالب كلمة log على السبورة لأول مرة فيظنها عملية غامضة جديدة. والحقيقة أن اللوغاريتمات تجيب عن سؤال واحد: كم مرة نضرب الأساس في نفسه لنصل إلى عدد معين؟ ما يأتي بعد ذلك قوانين تختصر الحساب، وتطبيقات ستلقاها في الكيمياء والفيزياء والمال.
التعريف
log_b(x) = y تعني أن bʸ = x
الأساس b موجب ولا يساوي 1، وx موجب. أمثلة:
- log₂(8) = 3، لأن 2³ = 8
- log₃(81) = 4، لأن 3⁴ = 81
- log₅(1) = 0، لأن أي عدد أُسّه صفر يساوي 1
اللوغاريتم هو الأس نفسه. احفظ هذه الجملة؛ ستحل بها نصف الأسئلة.
log أم ln؟
زرّان على الحاسبة:
- log: اللوغاريتم العشري، أساسه 10. تجده في مقياس pH في الكيمياء، وفي عدّ خانات الأعداد الكبيرة.
- ln: اللوغاريتم الطبيعي، أساسه العدد e ≈ 2.71828. يظهر في النمو والتناقص المستمرين، كالفائدة المركبة المستمرة وتحلل المواد المشعة، وفي التفاضل والتكامل.
ln(e) = 1، وlog(10) = 1، وln(1) = log(1) = 0.
القوانين
| القانون | مثال |
|---|---|
| log(a × b) = log a + log b | log 5 + log 20 = log 100 = 2 |
| log(a ÷ b) = log a − log b | log 500 − log 5 = log 100 = 2 |
| log(aⁿ) = n × log a | log(2⁶⁴) = 64 × log 2 |
| log_b(x) = log x ÷ log b | log₂ 10 = log 10 ÷ log 2 |
الأخير اسمه قانون تغيير الأساس، وهو أنفعها عملياً: يحسب لوغاريتماً بأي أساس بزر log أو ln وحده. ويمكنك استعمال ln بدل log في البسط والمقام معاً، والنتيجة لا تتغير.
ثلاثة أمثلة محلولة
log₂(10)
لا عدد صحيح يحقق 2ʸ = 10. الجواب بين 3 (لأن 2³ = 8) و4 (لأن 2⁴ = 16). بتغيير الأساس:
log₂(10) = ln 10 ÷ ln 2 = 2.302585 ÷ 0.693147 ≈ 3.3219
بين 3 و4، وأقرب إلى 3. منطقي.
متى يتضاعف المبلغ؟
أودع أبو خالد مبلغاً بعائد مركب 5% سنوياً. بعد كم سنة يتضاعف؟
بعد n سنة يُضرب المبلغ في 1.05ⁿ، ونريد 1.05ⁿ = 2. الأس مجهول، وهنا يأتي دور اللوغاريتم. نأخذ ln للطرفين:
n × ln 1.05 = ln 2، فـ n = 0.693147 ÷ 0.048790 ≈ 14.2 سنة
سؤال من أكثر الأسئلة شيوعاً، وتفاصيل الفائدة في الفائدة البسيطة والمركبة.
كم خانة في 2⁶⁴؟
عدد خانات العدد الصحيح الموجب = الجزء الصحيح من لوغاريتمه العشري + 1.
log(2⁶⁴) = 64 × 0.30103 ≈ 19.27، فالخانات 19 + 1 = 20. وللتحقق: 2⁶⁴ = 18446744073709551616، عشرون رقماً بالضبط.
على حاسبة RaqamX العلمية
افتح الحاسبة العلمية في وضع «حساب».
- العشري: log يكتب log( بقوس مفتوح. اكتب 1000 ثم ) ثم =. الناتج 3.
- الطبيعي: ln ثم SHIFT ثم π (e) ثم =. الناتج 1.
- بأي أساس: SHIFT ثم Σ (logₐ). اكتب 2، ثم ▶ و8، ثم ▶ و=. الناتج 3.
- تغيير الأساس يدوياً: ln 2 ) ÷ ln 1.05 ) = تعطي 14.20669908، أي الـ 14.2 سنة نفسها.
- العكس: SHIFT ثم log تعطي 10ⁿ، وSHIFT ثم ln تعطي eⁿ. مثلاً SHIFT log ثم 2 ثم ▶ ثم = تعطي 100.
بقية أزرار الوضع في دليل الحساب العلمي.
أخطاء أصححها كل عام
- قوس لم يُغلق. log 1000 − 1 = دون ) بعد 1000 تحسب log(999) = 2.999565488 بدل 3 − 1 = 2. والطالب مقتنع أن الحاسبة معطلة.
- لوغاريتم الصفر أو السالب. log 0 وlog(−10) غير معرّفين، فتظهر Math ERROR. لا أس يجعل 10 تساوي صفراً أو عدداً سالباً.
- توزيع log على الجمع. log(a + b) ≠ log a + log b. القانون للضرب فقط: log(2 + 8) = 1، بينما log 2 + log 8 = log 16 ≈ 1.204.
- log مكان ln. سؤال عن الأساس e بزر log يعطيك رقماً أصغر بكثير: ln 10 ≈ 2.3026، وlog 10 = 1.
تمارين مع الحلول
- احسب log₃(81) دون حاسبة.
- احسب log 5 + log 20.
- حل 3ˣ = 20 لأقرب أربع منازل عشرية.
الإجابات:
- 3⁴ = 81، إذن 4.
- log(5 × 20) = log 100 = 2.
- x = ln 20 ÷ ln 3 ≈ 2.7268. على الحاسبة: ln 20 ) ÷ ln 3 ) = فتظهر 2.726833028.
أسئلة شائعة
ما الفرق بين log وln؟
log أساسه 10، وln أساسه e ≈ 2.71828. القوانين واحدة للاثنين، والتحويل بينهما: ln x = log x ÷ log e.
كيف أحسب لوغاريتم بأساس 2 على الحاسبة؟
بزر logₐ (SHIFT ثم Σ في حاسبة RaqamX العلمية): الأساس ثم العدد. أو بتغيير الأساس: log x ÷ log 2.
لماذا تظهر Math ERROR مع log؟
لأن ما داخل اللوغاريتم صفر أو سالب، واللوغاريتم معرّف للموجب فقط. وتأكد أن القوس مغلق في مكانه.
كم تساوي log 1 وln 1؟
صفراً كلاهما، لأن أي أساس أُسّه صفر يساوي 1.
قبل أن تنتقل
كلما رأيت log، أعد صياغته في ذهنك سؤالاً: «الأساس أُسّ كم يعطي هذا العدد؟». هذه الترجمة تفكّ معظم المسائل قبل أن تلمس الحاسبة. واللوغاريتم عكس القوة، فإن لم تثبت قوانين الأسس عندك بعد فابدأ بـ القوى والجذور والصيغة العلمية.