هل المصفوفة مجرد جدول أرقام؟
نعم، ولا. هي جدول من الأعداد في صفوف وأعمدة، هذا صحيح. لكن لهذا الجدول قواعد خاصة في الجمع والضرب، ورقم واحد يلخّصه اسمه المحدد، وأحياناً معكوس. هذا ما يجعل المصفوفات أداة لا جدولاً. سنمر على العمليات الأربع بأمثلة محلولة باليد، ثم نتحقق منها على الحاسبة العلمية في RaqamX.
الأبعاد تُكتب هكذا: عدد الصفوف × عدد الأعمدة. مصفوفة 2×3 فيها صفان وثلاثة أعمدة. احفظ هذا الترتيب، فهو يقيك نصف أخطاء الضرب لاحقاً.
الجمع والطرح والضرب في عدد
مصفوفتان 2×2 سترافقاننا في معظم المقال. A صفها الأول (2، 1) والثاني (3، 4). وB صفها الأول (1، 2) والثاني (0، 1). أكتبها صفاً صفاً بين قوسين لأن ذلك أوضح على شاشة الجوال من رسمها.
- الجمع: كل عنصر مع نظيره في المكان نفسه. A + B صفاها (3، 3) و(3، 5).
- الطرح: بالطريقة نفسها. A − B صفاها (1، −1) و(3، 3).
- الضرب في عدد: كل عنصر في ذلك العدد. 3A صفاها (6، 3) و(9، 12).
شرط الجمع والطرح وحيد: أبعاد متطابقة. لا جمع بين 2×2 و2×3.
ضرب مصفوفتين: الصف في العمود
هنا يتعثر أكثر الطلاب، لأن الضرب ليس عنصراً في عنصر. العنصر في الصف i والعمود j من الناتج = الصف i من الأولى في العمود j من الثانية: نضرب المتقابلات ونجمع.
A × B:
- الصف الأول من A (2، 1) في العمود الأول من B (1، 0): 2×1 + 1×0 = 2
- الصف الأول في العمود الثاني (2، 1): 2×2 + 1×1 = 5
- الصف الثاني (3، 4) في العمود الأول: 3×1 + 4×0 = 3
- الصف الثاني في العمود الثاني: 3×2 + 4×1 = 10
A × B صفاها (2، 5) و(3، 10).
احسب B × A بنفسك: صفاها (8، 9) و(3، 4). مختلفة تماماً. الترتيب في ضرب المصفوفات يغيّر النتيجة، وسؤال «هل AB = BA؟» ضيف دائم في الامتحانات.
وشرط الضرب: أعمدة الأولى = صفوف الثانية. 2×3 تُضرب في 3×1، والناتج 2×1.
بقالة أبي خالد
فرعان. في أسبوع باع الأول 20 كيس أرز و15 علبة زيت و30 كيس سكر، وباع الثاني 25 و10 و40. الأسعار: الأرز 12 ريالاً، والزيت 18، والسكر 6.
الكميات في مصفوفة 2×3، والأسعار في 3×1، ثم الضرب:
- الفرع الأول: 20×12 + 15×18 + 30×6 = 240 + 270 + 180 = 690 ريالاً
- الفرع الثاني: 25×12 + 10×18 + 40×6 = 300 + 180 + 240 = 720 ريالاً
ضربة واحدة تعطيك إيراد الفرعين. ولو كانت الفروع عشرة لما تغيّر في الطريقة شيء.
المحدد والمعكوس
المحدد رقم واحد للمصفوفة المربعة فقط. لمصفوفة 2×2 صفاها (a، b) و(c، d):
det = ad − bc
det(A) = 2×4 − 1×3 = 8 − 3 = 5.
والمعكوس A⁻¹ هو ما يعطي مصفوفة الوحدة إذا ضُرب في A. في 2×2:
- بدّل مكاني a وd.
- اقلب إشارتي b وc.
- اقسم الكل على المحدد.
A⁻¹ = (1/5) × [(4، −1) ، (−3، 2)]، أي صفاه (4/5، −1/5) و(−3/5، 2/5).
المحدد صفر؟ لا معكوس، فلا قسمة على صفر. المصفوفة (4، 6) و(2، 3) محددها 12 − 12 = 0، فلا معكوس لها.
محدد 3×3
M صفوفها (1، 2، 0) و(3، 1، 2) و(0، 1، 1). نفك على الصف الأول بإشارات متناوبة + − +:
det(M) = 1 × (1×1 − 2×1) − 2 × (3×1 − 2×0) + 0 × (...)
= 1 × (−1) − 2 × 3 + 0 = −1 − 6 = −7
الإشارة السالبة أمام العنصر الثاني هي أكثر ما يضيع في الامتحان. ضع حولها دائرة.
على الحاسبة العلمية
وضع «مصفوفات» في الحاسبة العلمية يحفظ حتى أربع مصفوفات MatA وMatB وMatC وMatD، بأبعاد تصل إلى 4×4.
إدخال A وB:
- اضغط تبويب «مصفوفات» فوق الشاشة، فتظهر قائمة مرقمة.
- اضغط 1 (Dim)، ثم 1 (MatA)، ثم 2 للصفوف، ثم 2 للأعمدة.
- العناصر صفاً صفاً، و= بعد كل عنصر: 2 = 1 = 3 = 4 =. ثم AC للخروج.
- ≡ ثم 1 (Dim)، ثم 2 (MatB)، ثم 2 و2، وأدخل 1 = 2 = 0 = 1 =، ثم AC.
العمليات:
- الضرب: ≡ ثم 3 (MatA)، ثم ×، ثم ≡ ثم 4 (MatB)، ثم =. تظهر (2، 5) و(3، 10).
- الجمع والطرح: بالطريقة نفسها مع + أو −.
- المحدد: ≡ ثم 8 (det)، ثم ≡ ثم 3 (MatA)، ثم =. تظهر 5.
- المعكوس: ≡ ثم 3 (MatA)، ثم x⁻¹، ثم =. تظهر كسوراً: 4/5 و−1/5 و−3/5 و2/5.
- المنقول: ≡ ثم 9 (Trn)، ثم المصفوفة، ثم =.
ولمثال البقالة: MatA بأبعاد 2×3، وMatB بأبعاد 3×1، ثم اضرب، فتظهر 690 و720. وجرّب M السابقة: det = −7، ومعكوسها عناصره كسور مقامها 7. المزيد في دليل وضع المصفوفات.
أخطاء شائعة
- ضرب المتقابلات. ضرب A في B عنصراً بعنصر، كما في الجمع. هذا ليس ضرب مصفوفات.
- قلب الترتيب. السؤال يطلب A × B؟ لا تحسب B × A. ستعطيك الحاسبة جواباً صحيحاً لسؤال آخر.
- أبعاد لا تتوافق. Dimension ERROR تعني أن أعمدة الأولى لا تساوي صفوف الثانية. راجع الترتيب أو الأبعاد التي أدخلتها.
- معكوس لمحدد صفري. تظهر Math ERROR. احسب المحدد أولاً؛ إن كان صفراً فالجواب الصحيح «لا يوجد معكوس».
- Dim للتعديل. يعيد المصفوفة أصفاراً. لتعديل عنصر واحد: ≡ ثم 2 (Data).
تمارين مع الحلول
- محدد المصفوفة (3، 2) و(5، 4)؟ (الجواب: 12 − 10 = 2)
- معكوس المصفوفة (2، 1) و(5، 3)؟ (الجواب: المحدد 1، والمعكوس صفاه (3، −1) و(−5، 2))
- اضرب (1، 0) و(2، 1) في (3، 1) و(0، 2). (الجواب: صفا الناتج (3، 1) و(6، 4))
أسئلة شائعة
ما شرط ضرب مصفوفتين؟
أعمدة الأولى = صفوف الثانية. والناتج صفوفه كالأولى وأعمدته كالثانية.
كيف أحسب معكوس 3×3؟
باليد: المحدد ومصفوفة المرافقات، وهي عملية طويلة. الأنفع أن تحلها باليد مرة لتفهمها، ثم تتحقق بالحاسبة: أدخل المصفوفة واضغط x⁻¹ ثم =. وللتأكد اضربها في معكوسها، فيجب أن تظهر مصفوفة الوحدة.
ما فائدة المحدد؟
يخبرك هل للمصفوفة معكوس، وبالتالي هل لنظام المعادلات المرتبط بها حل وحيد. لهذا يدخل في حل نظام ثلاث معادلات بثلاثة مجاهيل ونظام معادلتين خطيتين.
هل أجمع مصفوفتين مختلفتي الأبعاد؟
لا. الجمع والطرح يحتاجان أبعاداً متطابقة تماماً، وللضرب شرطه الخاص.
نصيحة قبل أي ضرب
اكتب أبعاد المصفوفتين جنباً إلى جنب، مثل (2×3)(3×1). إن تطابق الرقمان الداخليان فالضرب ممكن، والرقمان الخارجيان هما أبعاد الناتج. ثانيتان تمنعانك من حساب لا معنى له.