طالبان متوسط كل منهما 70. هل هما متشابهان؟
انظر إلى الدرجات في اختبارات الرياضيات الخمسة:
- أحمد: 70، 72، 68، 71، 69
- عمر: 50، 90، 60، 85، 65
أحمد ثابت كالساعة. عمر يوماً في القمة ويوماً في القاع. المتوسط الحسابي لم يلمح هذا الفرق؛ الانحراف المعياري يلمحه فوراً. هو الرقم الذي يقيس كم تبتعد القيم عن متوسطها، وسنحسبه باليد ثم على الحاسبة العلمية.
المتوسط الحسابي أولاً
x̄ = Σx ÷ n
لعمر: 50 + 90 + 60 + 85 + 65 = 350، و350 ÷ 5 = 70. ولأحمد المجموع 350 أيضاً، فالمتوسط 70.
المتوسط يخبرك أين تتجمع البيانات، ولا يخبرك شيئاً عن انتشارها حول هذا المركز. وهذه مهمة التشتت.
الفكرة والقانون
أبسط فكرة: نقيس بُعد كل قيمة عن المتوسط، ونأخذ متوسط الأبعاد. لكن بعضها موجب وبعضها سالب، ومجموعها صفر دائماً. الحل:
- نربّع الأبعاد فتصير كلها موجبة.
- نأخذ متوسط المربعات.
- نأخذ الجذر لنعود إلى وحدة البيانات الأصلية.
σ = √( Σ(x − x̄)² ÷ n )
وما تحت الجذر، σ²، يسمى التباين.
درجات عمر باليد
| الدرجة x | x − x̄ | (x − x̄)² |
|---|---|---|
| 50 | −20 | 400 |
| 90 | 20 | 400 |
| 60 | −10 | 100 |
| 85 | 15 | 225 |
| 65 | −5 | 25 |
| المجموع | 0 | 1150 |
عمود الفروق مجموعه صفر. اختبار سريع يكشف خطأ الطرح قبل أن تكمل.
- التباين: 1150 ÷ 5 = 230.
- الجذر: σ = √230 ≈ 15.17 درجة.
ولأحمد: الفروق 0 و2 و−2 و1 و−1، مربعاتها 0 و4 و4 و1 و1، مجموعها 10. التباين 10 ÷ 5 = 2، وσ = √2 ≈ 1.41.
اتضحت الصورة: درجات أحمد تبتعد عن 70 بدرجة ونصف تقريباً، ودرجات عمر بخمس عشرة. لو كنت معلمهما لعرفت أن عمر يحتاج متابعة. مستواه ليس ضعيفاً؛ هو غير مستقر.
طريق أقصر
مع البيانات الكثيرة يُرهقك جدول الفروق. الصيغة المكافئة:
σ² = Σx² ÷ n − x̄²
لعمر: Σx² = 2500 + 8100 + 3600 + 7225 + 4225 = 25650. فـ σ² = 25650 ÷ 5 − 70² = 5130 − 4900 = 230. النتيجة نفسها، وهذه هي الصيغة التي تستعملها الحاسبة من الداخل.
σ أم s؟
ستجد انحرافين معياريين في الكتب والحاسبات:
- σx للمجتمع: نقسم على n. حين تكون البيانات هي كل ما يهمك، كدرجات عمر الخمس ذاتها.
- sx للعينة: نقسم على n − 1. حين تمثّل البيانات مجموعة أكبر، كثلاثين أسرة اخترتها لتقدير متوسط فاتورة الكهرباء في مدينة كاملة.
لعمر: s² = 1150 ÷ 4 = 287.5، وs ≈ 16.96.
لماذا n − 1؟ لأن العينة تبدو عادةً أقل تشتتاً من المجتمع الذي أُخذت منه، والقسمة على عدد أصغر تعوّض ذلك قليلاً. في الامتحان اقرأ السؤال بعناية، وإن لم يحدد فاسأل معلمك عن العُرف المتبع في منهجك.
على حاسبة RaqamX
- افتح الحاسبة العلمية واختر إحصاء من الأزرار فوق الشاشة.
- اضغط 1 لتختار 1-VAR، أي متغير واحد.
- في جدول البيانات: 50 =، 90 =، 60 =، 85 =، 65 =. كل = يحفظ القيمة وينزل إلى الصف التالي.
- اضغط ≡ ثم 3 لتختار Statistics.
- تنقّل في النتائج بـ ▼.
| ما تعرضه الحاسبة | المعنى | القيمة لعمر |
|---|---|---|
| n= | عدد القيم | 5 |
| x̄= | المتوسط الحسابي | 70 |
| Σx= | المجموع | 350 |
| Σx²= | مجموع المربعات | 25650 |
| σ²x= | تباين المجتمع | 230 |
| σx= | انحراف المجتمع | 15.16575089 |
| s²x= | تباين العينة | 287.5 |
| sx= | انحراف العينة | 16.95582496 |
وتحتها أصغر قيمة وأكبرها والربيعات والوسيط Med = 65. المنوال لا يظهر في القائمة، فاستخرجه بعينك من البيانات؛ الشرح في الوسيط والمنوال والربيعات. تفاصيل الجدول وأنواع البيانات الأخرى في دليل وضع الإحصاء.
أربعة أخطاء أصححها كثيراً
- نسيان التربيع. يجمع الطالب الفروق مباشرة فيحصل على صفر ويحتار. الصفر ليس جواباً؛ هو إشارة إلى أنك نسيت التربيع.
- نسيان الجذر. 230 تباين، وσ جذره. الفرق بين 230 و15.17 شاسع، وكلاهما على الشاشة، فاختر السطر الصحيح.
- خلط σx وsx. اكتب في ورقتك أيهما استعملت ولماذا.
- بيانات قديمة في الجدول. انظر إلى n قبل أي نتيجة. خمس قيم أدخلتها وn=8؟ هناك صفوف من مسألة سابقة.
تمارين مع الإجابات
- احسب المتوسط وσ للبيانات 2، 4، 4، 4، 5، 5، 7، 9. الإجابة: x̄ = 5، ومجموع مربعات الفروق 32، فـ σ = √(32 ÷ 8) = 2، وs ≈ 2.138.
- احسب σ وs للقيم 10، 12، 14. الإجابة: x̄ = 12، ومجموع مربعات الفروق 8، فـ σ = √(8 ÷ 3) ≈ 1.633، وs = √(8 ÷ 2) = 2.
- أضاف المعلم 5 درجات لكل اختبار من اختبارات أحمد. ماذا يحدث للمتوسط وللتشتت؟ الإجابة: المتوسط يصير 75، وσ يبقى √2 ≈ 1.41؛ القيم تحركت معاً ولم يتغير بُعدها عن المتوسط.
أسئلة شائعة
ما الانحراف المعياري بكلمات بسيطة؟
متوسط بُعد القيم عن متوسطها، تقريباً. صغير يعني قيماً متقاربة، وكبير يعني قيماً متباعدة.
ما الفرق بين التباين والانحراف المعياري؟
التباين متوسط مربعات الفروق، والانحراف المعياري جذره. نفضّل الانحراف في التفسير لأنه بوحدة البيانات نفسها: درجات أو ريالات أو كيلوغرامات.
كيف أحسبهما بالآلة الحاسبة؟
وضع الإحصاء، ثم 1-VAR، ثم القيم مع = بعد كل واحدة، ثم ≡ وStatistics، فتظهر x̄ وσx وsx معاً.
هل يكون الانحراف سالباً؟
لا. هو جذر لمجموع مربعات، فأصغر قيمة له صفر، ولا يبلغها إلا حين تتساوى القيم كلها.
ما أنصح به
لا تكتب متوسطاً في تقرير أو بحث دون أن تضع بجانبه الانحراف المعياري. الرقم وحده يروي نصف الحكاية، كما رأيت مع أحمد وعمر. وإن احتجت متوسطاً تختلف فيه أوزان القيم، كالمعدل الجامعي، فاقرأ المتوسط المرجح وحساب المعدل، ولدراسة العلاقة بين متغيرين انتقل إلى الانحدار الخطي ومعامل الارتباط.