متوسط رواتب خمسة موظفين 2000 دينار. هل يأخذ أغلبهم قريباً من 2000؟
أطرح السؤال كل فصل، وأكثر الطلاب يجيبون بنعم. ثم أكشف الأرقام: أربعة يأخذون 600 دينار، والمدير 7600. المتوسط صحيح حسابياً، ولا يصف الواقع في شيء. هنا يتقدّم الوسيط والمنوال، ومعهما الربيعات التي تخبرك كيف تنتشر البيانات حول المنتصف.
سنشرح فكرة كل مقياس، ثم نحسبه يدوياً على أمثلة حقيقية، ثم نصل إلى النتائج نفسها في ثوانٍ على الحاسبة العلمية.
ثلاثة مقاييس، ثلاثة أسئلة
المتوسط الحسابي: مجموع القيم ÷ عددها. شرحناه مع الانحراف المعياري في المتوسط والانحراف المعياري.
الوسيط: القيمة التي تقع في المنتصف بعد الترتيب التصاعدي. نصف القيم أصغر منه أو تساويه، ونصفها أكبر منه أو تساويه. قيمة شاذة واحدة لا تحرّكه كثيراً، ولهذا تعتمده تقارير الرواتب وأسعار البيوت.
المنوال: القيمة الأكثر تكراراً. قد يكون واحداً أو اثنين، وقد لا يوجد إن لم تتكرر أي قيمة. وهو الوحيد بين الثلاثة الذي يصلح للبيانات غير العددية: اللون الأكثر مبيعاً، أو مقاس الحذاء الأكثر طلباً.
الربيعات تقسم البيانات المرتبة إلى أربعة أجزاء متساوية تقريباً:
- Q1: وسيط النصف الأدنى.
- Q2: الوسيط نفسه.
- Q3: وسيط النصف الأعلى.
والفرق Q3 − Q1 هو المدى الربيعي IQR: انتشار النصف الأوسط من البيانات، بعيداً عن عبث القيم المتطرفة.
قاعدة الوسيط
رتّب القيم تصاعدياً، وليكن عددها n.
- n فردي: الوسيط هو القيمة رقم (n + 1) ÷ 2.
- n زوجي: متوسط القيمتين رقم n ÷ 2 ورقم (n ÷ 2) + 1.
أكثر خطأ أراه في أوراق الامتحان؟ أخذ القيمة الوسطى كما وردت في السؤال، دون ترتيب. الترتيب أولاً. دائماً.
درجات 11 طالباً
صحّحت سارة اختبار رياضيات من 20 لأحد عشر طالباً:
14، 9، 17، 12، 15، 12، 18، 11، 16، 12، 13
الترتيب: 9، 11، 12، 12، 12، 13، 14، 15، 16، 17، 18
الوسيط: n = 11 فردي، فالوسيط في الموقع (11 + 1) ÷ 2 = 6: 13.
المنوال: 12 تكررت ثلاث مرات، ولا درجة أخرى بلغت ذلك: 12.
الربيعات: العدد فردي، فنستبعد الوسيط 13 ونقسم الباقي:
- النصف الأدنى 9، 11، 12، 12، 12، ووسيطه Q1 = 12.
- النصف الأعلى 14، 15، 16، 17، 18، ووسيطه Q3 = 16.
المدى الربيعي = 16 − 12 = 4. نصف الطلاب في الوسط درجاتهم بين 12 و16.
وللمقارنة: المجموع 149، والمتوسط 149 ÷ 11 ≈ 13.55، قريب من الوسيط لأن البيانات متوازنة ولا شذوذ فيها.
مبيعات أبي خالد: عدد زوجي وقيمة شاذة
سجّل أبو خالد مبيعات محله اليومية بالدينار ثمانية أيام:
85، 120، 95، 140، 110، 95، 130، 300
اليوم الأخير كان يوم عيد.
الترتيب: 85، 95، 95، 110، 120، 130، 140، 300
- الوسيط: n = 8 زوجي، فنأخذ متوسط الرابعة والخامسة: (110 + 120) ÷ 2 = 115 ديناراً.
- المنوال: 95، تكررت مرتين.
- Q1: النصف الأدنى 85، 95، 95، 110، فـ Q1 = (95 + 95) ÷ 2 = 95.
- Q3: النصف الأعلى 120، 130، 140، 300، فـ Q3 = (130 + 140) ÷ 2 = 135.
- المدى الربيعي: 135 − 95 = 40.
والمتوسط؟ المجموع 1075، والمتوسط 1075 ÷ 8 ≈ 134.38. يوم العيد وحده رفعه فوق مبيعات ستة أيام من ثمانية، بينما بقي الوسيط 115 يصف يوماً عادياً في المحل.
هل 300 شاذة فعلاً؟
القاعدة المعتادة في الكتب: القيمة شاذة إن تجاوزت Q3 + 1.5 × IQR، أو نزلت عن Q1 − 1.5 × IQR.
الحد الأعلى = 135 + 1.5 × 40 = 195، والأدنى = 95 − 60 = 35. القيمة 300 فوق 195، فهي شاذة بهذا المعيار.
على الحاسبة العلمية
وضع الإحصاء يعرض الوسيط والربيعين وأصغر قيمة وأكبرها مع المتوسط والانحراف المعياري في قائمة واحدة. بيانات المثال الأول:
- افتح الحاسبة العلمية واضغط تبويب إحصاء فوق الشاشة.
- اضغط 1 لاختيار 1-VAR.
- اكتب 14 =، ثم 9 =، وهكذا حتى 13 =. لا داعي للترتيب؛ الحاسبة ترتّب بنفسها.
- اضغط ≡ ثم 3 لاختيار Statistics.
- يظهر n=11 ثم x̄. انزل بـ ▼ حتى: min(x)=9، Q1=12، Med=13، Q3=16، max(x)=18.
عادتي مع طلابي: ننظر إلى n وmin وmax قبل أي شيء. n=10؟ نسيت قيمة. max(x)=81؟ كتبت 18 مقلوبة. للتصحيح اضغط ≡ ثم 2 (Data) وعدّل الخانة. تفاصيل الوضع كاملة في دليل وضع الإحصاء.
المنوال لا يظهر في القائمة، وهو أسهل من أن يحتاج حاسبة: بعد الترتيب تراه بعينك.
لماذا خرج Q1 عندي مختلفاً عن الكتاب؟
سؤال يتكرر قبل كل امتحان. السبب أن هناك أكثر من طريقة معتمدة:
- الطريقة المشروحة هنا، وهي طريقة الحاسبة: تستبعد الوسيط حين يكون n فردياً، ثم تأخذ وسيط كل نصف.
- بعض الكتب تُدخل الوسيط في النصفين.
- وبعضها يحسب موقع الربيع بالصيغة (n + 1) ÷ 4 مع الاستكمال بين قيمتين.
مع البيانات الكثيرة تتقارب النتائج، ومع سبع قيم أو تسع قد تختلف. في الامتحان اتبع طريقة كتابك، واستعمل الحاسبة للتحقق.
أخطاء شائعة
- حساب الوسيط قبل ترتيب البيانات.
- في n الزوجي: أخذ إحدى القيمتين الوسطيين بدل متوسطهما.
- الظن أن المنوال «أكبر قيمة». هو الأكثر تكراراً، وقد يكون أصغرها.
- كتابة القيمة المكررة مرة واحدة عند الترتيب. 12 تكررت ثلاثاً؟ اكتبها ثلاثاً.
- القول إن البيانات «بلا وسيط». كل مجموعة أرقام لها وسيط؛ المنوال وحده قد يغيب.
تمارين مع الحلول
التمرين 1: أهداف فريق المدرسة في سبع مباريات: 7، 3، 9، 3، 5، 8، 3. أوجد الوسيط والمنوال وQ1 وQ3.
الحل: الترتيب 3، 3، 3، 5، 7، 8، 9. الوسيط 5، والمنوال 3. النصف الأدنى 3، 3، 3 فـ Q1 = 3، والأعلى 7، 8، 9 فـ Q3 = 8.
التمرين 2: أعمار ستة أطفال في حضانة: 4، 8، 6، 10، 2، 12. أوجد الوسيط والربيعين والمنوال.
الحل: الترتيب 2، 4، 6، 8، 10، 12. الوسيط (6 + 8) ÷ 2 = 7. النصف الأدنى 2، 4، 6 فـ Q1 = 4، والأعلى 8، 10، 12 فـ Q3 = 10. لا منوال؛ لم يتكرر أي عمر.
التمرين 3: باع محل أحذية في يوم واحد المقاسات: 41، 42، 42، 43، 42، 44، 41. أي مقياس ينفع صاحب المحل حين يطلب بضاعة جديدة؟
الحل: المنوال، المقاس 42 الذي بيع ثلاث مرات. متوسط المقاسات (295 ÷ 7 ≈ 42.14) لا معنى له عند الطلب من المصنع؛ لا يوجد حذاء مقاسه 42.14.
أسئلة شائعة
متى أستخدم الوسيط بدل المتوسط؟
حين تحتوي البيانات على قيم متطرفة أو تكون غير متماثلة: الرواتب، وأسعار العقارات، ومبيعات فيها أيام مواسم. الوسيط هنا يصف القيمة «النموذجية» بأمانة أكبر.
هل يكون للبيانات أكثر من منوال؟
نعم. قيمتان تكررتا بالعدد الأكبر نفسه تعني منوالين، وتسمى البيانات ثنائية المنوال. وإن لم تتكرر أي قيمة فلا منوال.
كيف أحسب الوسيط لعدد زوجي من القيم؟
رتّب، ثم خذ القيمتين في المنتصف واقسم مجموعهما على 2. لثماني قيم: متوسط الرابعة والخامسة.
ما فائدة المدى الربيعي؟
يقيس انتشار النصف الأوسط من البيانات، ولا تعبث به القيم الشاذة كما تعبث بالمدى العادي (أكبر قيمة ناقص أصغرها). ويُستعمل لاكتشاف الشواذ ولرسم مخطط الصندوق.
نصيحة أخيرة
إذا رأيت متوسطاً في خبر أو إعلان، فاسأل فوراً عن الوسيط. الفجوة الكبيرة بينهما تعني أن هناك قيمة شاذة تشد الرقم إليها. ولترى متوسطاً تختلف فيه أوزان القيم، كالمعدل الجامعي، اقرأ المعدل الموزون والمعدل التراكمي.