كم يساوي 2 + 3 × 4؟

اطرح السؤال على صف كامل وستسمع رقمين: 20 و14. الصحيح 14، وليس في الأمر خدعة. هناك قاعدة متفق عليها اسمها ترتيب العمليات الحسابية، ووظيفتها أن يكون لكل عبارة رقمية جواب واحد، أيّاً كان من يحسبها.

تخيّل غيابها: المحاسب يحسب الفاتورة بطريقة، والعميل بطريقة أخرى، وكلاهما مقتنع. سنثبّت القاعدة هنا بأمثلة محلولة، ثم نتحقق منها على الحاسبة.

القاعدة في أربعة أسطر

  1. ما داخل الأقواس أولاً.
  2. ثم القوى والجذور، مثل 3² و√16.
  3. ثم الضرب والقسمة معاً، من اليسار إلى اليمين.
  4. ثم الجمع والطرح معاً، من اليسار إلى اليمين.

السطران الأخيران هما مصدر نصف الأخطاء. الضرب لا يتقدّم على القسمة، والجمع لا يتقدّم على الطرح. كل زوج في درجة واحدة، والأسبق في القراءة من اليسار يُحسب أولاً. الكتب الإنجليزية تختصر ذلك في كلمة PEMDAS أو BODMAS، والمضمون واحد.

عُد إلى السؤال الأول: في 2 + 3 × 4 جمع وضرب. نضرب: 3 × 4 = 12، ثم نجمع: 2 + 12 = 14. وإذا كنت تريد الجمع أولاً فعلاً؟ اكتب قوسين: (2 + 3) × 4 = 20.

مثال طويل خطوة بخطوة

عبارة من النوع الذي يأتي في الاختبارات القصيرة:

12 + 6 ÷ 3 × 2 − 1

  • لا أقواس ولا قوى، فننتقل إلى الضرب والقسمة.
  • من اليسار تأتي القسمة أولاً: 6 ÷ 3 = 2، فتصير العبارة 12 + 2 × 2 − 1.
  • ثم الضرب: 2 × 2 = 4، فتصير 12 + 4 − 1.
  • ثم الجمع والطرح من اليسار: 12 + 4 = 16، و16 − 1 = 15.

لو ضربت 3 × 2 قبل القسمة لصارت 6 ÷ 6 = 1، ولخرج الناتج 12. خطوة واحدة في غير مكانها، وجواب مختلف كلياً.

مثال فيه قوس وقوة: 2 × (3 + 4)²

القوس: 3 + 4 = 7. القوة: 7² = 49. الضرب: 2 × 49 = 98.

ومن يربّع داخل القوس قبل الجمع يكتب 2 × (9 + 16) = 50. خطأ أجده في الدفاتر كل فصل تقريباً.

الفاتورة الشهرية لأحمد

إيجار شهري 4500 ريال، وثلاثة أقساط لجهاز منزلي، كل قسط 1200 ريال. كم يدفع هذا الشهر؟

العبارة: 4500 + 3 × 1200. الضرب أولاً: 3600. ثم الجمع: 8100 ريال.

أما من يقرأ من اليسار دون ترتيب فيحسب (4500 + 3) × 1200 = 5403600. رقم عبثي. القاعدة هنا لا تخص المدرسة وحدها؛ إنها تحمي مالك الحقيقي من خطأ سخيف.

على حاسبة RaqamX العادية

الحاسبة العادية تعرض العبارة كاملة على الشاشة، ثم تحسبها وفق ترتيب العمليات، فلا داعي لتقطيعها خطوات.

  1. اضغط AC لتبدأ من شاشة نظيفة.
  2. اكتب 12 + 6 ÷ 3 × 2 − 1.
  3. اضغط =. تظهر 15.
  4. للمثال الثاني: 2 × ( 3 + 4 ) x² =، فتظهر 98.

أخطأت في رقم؟ احذفه بزر ⌫، ولا تمسح الشاشة كلها. بقية الأزرار مشروحة في دليل استخدام الحاسبة العادية.

أربعة أخطاء أصادفها باستمرار

«الضرب دائماً قبل القسمة». غير صحيح. في 100 ÷ 5 × 2 نبدأ من اليسار: 100 ÷ 5 = 20، ثم 20 × 2 = 40. من يضرب أولاً يصل إلى 100 ÷ 10 = 10. والطرح مثله: 10 − 4 − 3 = 3، وليس 10 − 1 = 9.

الإشارة السالبة مع التربيع. −3² تساوي −9، لأن القوة تُحسب قبل الإشارة. أما (−3)² فتساوي 9، لأن الإشارة داخل القوس. والحاسبة تفرّق بينهما: ± 3 x² = تعطي −9، وضع الإشارة داخل قوس لتحصل على 9.

الجذر الذي يبتلع ما بعده. في الحاسبة العادية كل ما يأتي بعد √ يدخل تحت الجذر حتى تضغط =. فعبارة √ 16 + 9 تُحسب √(16 + 9) = 5، لا 4 + 9 = 13. الحل: احسب الجذر أولاً، ثم أكمل على نتيجته.

لغز 6 ÷ 2(1 + 2). ينتشر على مواقع التواصل كل بضعة أشهر. بالقاعدة المدرسية: القوس أولاً فتصير 6 ÷ 2 × 3، ثم من اليسار 3 × 3 = 9، وهذا ما تعطيه حاسبة RaqamX العادية. فريق آخر يمنح الضرب الملاصق للقوس أولوية فيحصل على 1، وهكذا تتصرف معظم الحاسبات العلمية، ومنها الحاسبة العلمية في RaqamX. الجدال لا يُحسم بالقواعد؛ يُحسم بقوس واضح يكتبه صاحب السؤال.

تمارين للتدريب

حلّها في دفترك، ثم راجعها على الحاسبة.

  1. 20 − 4 × 3 + 2
  2. (8 + 4) ÷ 2²
  3. اشترت سارة 3 دفاتر بسعر 15 ريالاً للدفتر، وقلمين بسعر 7.5 ريال للقلم. اكتب العبارة واحسب المبلغ.

الإجابات: الأول: 20 − 12 + 2 = 10. الثاني: 12 ÷ 4 = 3. الثالث: 3 × 15 + 2 × 7.5 = 45 + 15 = 60 ريالاً.

الخطوة الطبيعية بعد هذا الموضوع هي حساب النسبة المئوية والخصم والضريبة، فكثير من أخطاء الخصم سببه ترتيب خاطئ للعمليات. ومن يستعد لامتحان قريب سيجد ما يحتاجه في أخطاء الحاسبة في الامتحان.

أسئلة شائعة

هل الضرب قبل القسمة في ترتيب العمليات؟

لا. هما في درجة واحدة، ونبدأ بالأسبق من اليسار. والجمع والطرح كذلك.

ما معنى PEMDAS؟

اختصار إنجليزي للترتيب: الأقواس، فالأسس، فالضرب والقسمة، فالجمع والطرح. ترتيب حروفه يوحي بأن الضرب يسبق القسمة، ومن هنا يأتي خطأ شائع؛ فتذكّر أن كل زوج يُحسب من اليسار إلى اليمين.

لماذا تعطيني حاسبة أخرى 20 في 2 + 3 × 4؟

بعض الحاسبات البسيطة تنفّذ كل عملية لحظة ضغطها، فتجمع 2 + 3 قبل أن ترى الضرب. حاسبة RaqamX تقرأ العبارة كاملة ثم تطبّق الترتيب، فتعطي 14.

كم ناتج 6 ÷ 2(1 + 2)؟

بالقاعدة المدرسية، ومن اليسار بعد حساب القوس، الناتج 9. وإن كنت تكتب السؤال لغيرك فأضف قوساً يحسم قصدك: (6 ÷ 2) × 3 أو 6 ÷ (2 × 3).

نصيحة أخيرة

عندما تشك في عبارة، لا تراهن على ذاكرتك. ضع القوس. قوسان إضافيان لا يكلّفان شيئاً، ويقطعان الطريق على أي قراءة ثانية.