لماذا يكون جواب سؤالين شبه متطابقين 720 مرة و120 مرة أخرى؟
صف فيه 10 طلاب. المعلم يريد رئيساً ونائباً وأمين سر: 720 طريقة. ثم يريد لجنة من 3 بلا مناصب: 120 طريقة. الفرق كله كلمة واحدة: الترتيب. وعلى هذه الكلمة يقوم موضوع التباديل والتوافيق كله.
الحساب ليس المشكلة؛ الحاسبة تنجزه في لحظة. المشكلة في السؤال الذي يسبقه: تباديل أم توافيق؟ عليه سنركّز قبل أي قانون.
المضروب n!
حاصل ضرب الأعداد الصحيحة من 1 إلى n:
5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
ومعناه عدد طرق ترتيب n من الأشياء المختلفة في صف. خمسة كتب على رف؟ 120 ترتيباً. للمكان الأول 5 خيارات، وللثاني 4 لأن كتاباً أُخذ، ثم 3، ثم 2، ثم 1.
وبالاتفاق 0! = 1. غريب في المرة الأولى، لكنه يجعل القوانين تعمل في كل الحالات.
السؤال الفاصل
لو بدّلت ترتيب ما اخترته، هل تتغير النتيجة؟
- نعم: تباديل nPr. مناصب مختلفة، مراكز في سباق، رقم سري، ترتيب جلوس.
- لا: توافيق nCr. لجنة بلا مناصب، 3 أسئلة تختارها من 5 في الامتحان، تشكيلة أطباق.
لجنة أحمد وسارة وعلي هي نفسها لجنة علي وأحمد وسارة. أما إن صار أحمد رئيساً وسارة نائبة، فتبديلهما يصنع إدارة أخرى.
قانون التباديل nPr
اختيار r عنصراً من n مع ترتيبها:
nPr = n! ÷ (n − r)!
عملياً: اضرب r عدداً تنازلياً تبدأ من n. للمناصب الثلاثة:
10P3 = 10 × 9 × 8 = 720
عشرة خيارات للرئيس، ثم تسعة للنائب، ثم ثمانية لأمين السر.
قانون التوافيق nCr
اختيار r عنصراً من n دون اعتبار للترتيب:
nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!)
وأسهل طريقة لتذكّره: هو التباديل مقسوماً على r!. كل مجموعة من r عناصر رُتّبت في التباديل بـ r! طريقة، ونحن نريد عدّها مرة واحدة:
10C3 = 720 ÷ 3! = 720 ÷ 6 = 120
ثلاثة أمثلة محلولة
الرقم السري للهاتف
أربع خانات، وكل خانة من 0 إلى 9.
- التكرار مسموح (مثل 1123): لكل خانة 10 خيارات، فـ 10 × 10 × 10 × 10 = 10000. هذا مبدأ العدّ الأساسي، لا تباديل بمعنى القانون.
- التكرار ممنوع: تباديل: 10P4 = 10 × 9 × 8 × 7 = 5040.
كل عام يستعمل بعض الطلاب nPr هنا والسؤال يسمح بالتكرار. القانون يفترض أن العنصر لا يُستعمل مرتين.
مصافحات الاجتماع
حضر 15 شخصاً اجتماعاً في مكتب أبي فيصل، وصافح كل منهم الآخرين جميعاً مرة واحدة. كم مصافحة؟
مصافحة خالد لسامي هي مصافحة سامي لخالد، فالترتيب لا يهم: 15C2 = (15 × 14) ÷ 2 = 105.
لجنة من أولاد وبنات
ولدان من 6، وبنتان من 5. نختار من مجموعتين منفصلتين ثم نضرب:
6C2 × 5C2 = 15 × 10 = 150 لجنة.
نضرب لأن كل اختيار للأولاد يمكن أن يقترن بأي اختيار للبنات.
على الحاسبة العلمية
في الحاسبة العلمية التباديل والتوافيق هما الوظيفتان الثانيتان لزرّي الضرب والقسمة:
- اختر تبويب حساب فوق الشاشة.
- 10P3: 10، ثم SHIFT ثم × (nPr)، ثم 3، ثم =. تظهر 720.
- 10C3: 10، ثم SHIFT ثم ÷ (nCr)، ثم 3، ثم =. تظهر 120. وتجد nCr أيضاً على SHIFT ثم n!.
- المضروب: 5 ثم n! ثم =، فتظهر 120.
ويمكن دمجها في عملية واحدة. بعد كتابة r يبقى المؤشر في خانتها، لكن أي إشارة تكتبها بعدها (× أو + أو قوس إغلاق) تُخرجك منها تلقائياً، أو اضغط ▶. للجنة المختلطة: 6 SHIFT ÷ 2 × 5 SHIFT ÷ 2 =، فتظهر 150. ونسيت مكان الزر؟ قائمة ≡ فيها قسم Probability يحوي x! وnPr وnCr. أزرار الوضع مشروحة في دليل الحاسبة العلمية.
والترتيب في الكتابة ثابت: n أولاً، ثم r. 3 nCr 10 تعطي رسالة خطأ، فلا يمكنك اختيار 10 من 3.
كلمات تكشف نوع المسألة
- «رئيس ونائب»، «الأول والثاني والثالث»: الترتيب مهم، فلا تستعمل التوافيق.
- «لجنة»، «فريق»، «مجموعة»، «اختر»: غالباً توافيق، ما لم يذكر السؤال أدواراً مختلفة.
- «و» بين مجموعتين: اضرب النتيجتين. والجمع للحالات البديلة فقط: إما هذا وإما ذاك.
- nCr = nC(n − r): اختيار 11 لاعباً من 15 هو اختيار 4 سيبقون على الدكة: 15C11 = 15C4 = 1365. حيلة توفر وقتاً كبيراً في الحساب اليدوي.
تمارين مع الحلول
التمرين 1: في سباق مدرسي 8 عدّائين. بكم طريقة توزَّع المراكز الثلاثة الأولى؟
الحل: المراكز مختلفة: 8P3 = 8 × 7 × 6 = 336.
التمرين 2: مطعم يقدّم 8 إضافات للبيتزا، وتختار سارة 3. كم تشكيلة؟
الحل: الإضافات نفسها بأي ترتيب تعطي البيتزا نفسها: 8C3 = 336 ÷ 6 = 56.
التمرين 3: مدرب لديه 15 لاعباً ويختار 11 للمباراة دون تحديد المراكز. بكم طريقة؟
الحل: 15C11 = 15C4 = (15 × 14 × 13 × 12) ÷ 24 = 32760 ÷ 24 = 1365.
أسئلة شائعة
كيف أعرف أنها تباديل أم توافيق؟
بدّل عنصرين في اختيارك. تغيّر المعنى، كأن صار النائب رئيساً؟ تباديل. بقي الاختيار نفسه، كلجنة بلا أدوار؟ توافيق.
لماذا 0! = 1؟
لأن هناك طريقة واحدة لترتيب لا شيء، ولأن هذا التعريف يُصحّح قانون nCr حين r = n أو r = 0: 5C5 = 5! ÷ (5! × 0!) = 1.
هل nPr أكبر من nCr دائماً؟
أكبر أو مساوٍ. nPr = nCr × r!، فيتساويان فقط حين r = 0 أو r = 1.
ما علاقة التوافيق بالاحتمالات؟
كثير من مسائل الاحتمال تقسم عدد الحالات المطلوبة على العدد الكلي، وكلاهما يُحسب غالباً بـ nCr. التفصيل في مبادئ الاحتمالات.
قبل أن تكتب أي قانون
اقرأ السؤال، وبدّل عنصرين في ذهنك، ثم قرر. عشر ثوانٍ من التفكير هنا أنفع من عشر دقائق من الحساب بقانون خاطئ. وإن ظهرت لك المضروبات الكبيرة بصيغة ×10ⁿ، فاقرأ القوى والجذور والصيغة العلمية لتعرف كيف تُقرأ.