ظهرت الصورة خمس مرات متتالية. هل الكتابة مضمونة في السادسة؟

«أكيد يا أستاذ»، يقولها طالب كل عام تقريباً. والجواب: لا. القطعة النقدية لا ذاكرة لها. هذا المثال وحده يشرح لماذا نحتاج مبادئ الاحتمالات: حدسنا في الصدفة يخدعنا كثيراً، والحساب يعيده إلى صوابه.

الاحتمال رقم بين 0 و1. صفر يعني مستحيل، وواحد يعني مؤكد، وبينهما درجات. سنمر على التعريفات، ثم أربعة قوانين تحل أغلب مسائل المدرسة، مع أمثلة محلولة وطريقة الحساب على الحاسبة العلمية.

ثلاث مفردات

  • التجربة العشوائية: فعل نعرف نتائجه الممكنة ولا نعرف أيها سيقع، كرمي حجر نرد.
  • فضاء العينة S: كل النتائج الممكنة. للنرد: {1، 2، 3، 4، 5، 6}.
  • الحادث A: جزء من فضاء العينة. «ظهور عدد زوجي» = {2، 4، 6}.

القانون الأساسي

حين تكون النتائج كلها متساوية الإمكان:

P(A) = عدد عناصر A ÷ عدد عناصر S

احتمال العدد الزوجي في رمية نرد = 3 ÷ 6 = 1/2.

والشرط «متساوية الإمكان» ليس تفصيلاً. لا تقل إن احتمال نجاحك 1/2 لأن النتيجتين نجاح ورسوب. النتيجتان غير متساويتين، والمذاكرة ترجّح إحداهما.

كيس ريم

في كيس 5 كرات حمراء و3 زرقاء و2 خضراء، المجموع 10. سحبت ريم كرة دون أن تنظر.

  • حمراء: 5/10 = 1/2.
  • زرقاء: 3/10.
  • صفراء: 0، فالكيس خالٍ منها.
  • مجموع الألوان الثلاثة: 5/10 + 3/10 + 2/10 = 1.

القاعدة الأخيرة ثابتة دائماً: احتمالات كل النتائج الممكنة مجموعها 1.

المتمم: أقصر الطرق

الحادث المتمم A′ هو «لم يقع A»:

P(A′) = 1 − P(A)

ألا تكون الكرة خضراء = 1 − 2/10 = 4/5.

يبدو تافهاً، وهو أقوى أداة في الباب كله، خاصة أمام عبارة «على الأقل». رمينا نردين: ما احتمال ظهور 6 واحدة على الأقل؟

العدّ المباشر طويل. المتمم أسهل: «ولا ستة» يعني أن الأول ليس 6 (5 من 6) والثاني كذلك. احتمالها 5/6 × 5/6 = 25/36. إذن:

P(ستة واحدة على الأقل) = 1 − 25/36 = 11/36 ≈ 0.306

وبالعدّ للتأكد: من 36 نتيجة، 6 فيها ستة في النرد الأول، و6 في الثاني، و(6، 6) عُدّت مرتين، فالمجموع 6 + 6 − 1 = 11.

«أو»: قانون الجمع

P(A أو B) = P(A) + P(B) − P(A و B)

نطرح التقاطع لأننا عددناه مرتين. وإن كان الحادثان متنافيين، لا يقعان معاً، فالتقاطع صفر ونجمع فقط.

في صف من 30 طالباً، 18 يلعبون كرة القدم و10 يلعبون السلة، و6 يلعبون الاثنتين. ما احتمال أن يلعب طالب عشوائي إحداهما؟

P = 18/30 + 10/30 − 6/30 = 22/30 = 11/15

من يجمع 18 و10 فيكتب 28/30 نسي أن الستة عُدّوا مرتين.

«و»: قانون الضرب

إذا كان الحادثان مستقلين، لا يغيّر أحدهما احتمال الآخر:

P(A و B) = P(A) × P(B)

صورتان في رميتين = 1/2 × 1/2 = 1/4. ويعود هنا طالبنا الأول: الرمية السادسة مستقلة عن الخمس قبلها، واحتمال الكتابة فيها 1/2 كما كان دائماً.

مع الإرجاع أم دونه؟

عُد إلى الكيس: 5 حمراء من 10. سحبنا كرتين، ما احتمال أن تكونا حمراوين؟

  • مع الإرجاع: نعيد الأولى قبل السحب الثاني، فالسحبتان مستقلتان: 5/10 × 5/10 = 1/4.
  • دون إرجاع: بعد سحب حمراء يبقى 4 حمراء من 9. بالتوافيق: طرق اختيار حمراوين من 5 هي 5C2 = 10، وطرق اختيار أي كرتين من 10 هي 10C2 = 45، فـ P = 10/45 = 2/9 ≈ 0.222.

وبالضرب تصل إلى الرقم ذاته: 5/10 × 4/9 = 20/90 = 2/9. إن كانت nCr جديدة عليك فابدأ بـ التباديل والتوافيق.

على الحاسبة العلمية

الاحتمالات كسور غالباً، والحاسبة العلمية في RaqamX تعرض النتيجة كسراً مختصراً، وهو ما يطلبه أغلب المعلمين.

  1. اختر تبويب حساب فوق الشاشة.
  2. المتمم 1 − 25/36: 1 ثم −، ثم a/b و25، ثم ▼ و36، ثم =. تظهر 11/36.
  3. ⇄ تعطيك 0.3055555556.
  4. السحب دون إرجاع: a/b، ثم 5 ثم SHIFT ثم ÷ (nCr) ثم 2، ثم ▼ إلى المقام، و10 ثم SHIFT ثم ÷ ثم 2، ثم =. تظهر 2/9.

للنسبة المئوية اضرب العشري في 100: 2/9 ≈ 22.2%. كتابة الكسور والتحويل بين الصورتين في دليل الحاسبة العلمية.

أخطاء مصدرها القراءة لا الحساب

  • احتمال فوق 1 أو تحت الصفر. خرج معك 1.2؟ هناك خلل، والأرجح جمع دون طرح التقاطع.
  • ضرب حادثين غير مستقلين كأن الأول لا يؤثر في الثاني، كما في السحب دون إرجاع.
  • الخلط بين «و» و«أو». «و» تعني وقوعهما معاً، فتضرب في المستقلين. «أو» تعني أحدهما على الأقل، فتجمع وتطرح التقاطع.
  • عدّ نتائج نردين 11 بدل 36. المجاميع من 2 إلى 12 أحد عشر، لكنها غير متساوية الإمكان: المجموع 7 يأتي بست طرق، والمجموع 2 بطريقة واحدة.

تمارين مع الحلول

التمرين 1: رمى أحمد قطعة نقدية 3 مرات. ما احتمال صورتين بالضبط؟

الحل: النتائج الكلية 2 × 2 × 2 = 8. المطلوب: ص ص ك، ص ك ص، ك ص ص، أي 3. الاحتمال 3/8.

التمرين 2: رمينا نردين. ما احتمال أن يكون المجموع 7؟

الحل: (1، 6)، (2، 5)، (3، 4)، (4، 3)، (5، 2)، (6، 1): ست حالات من 36. الاحتمال 6/36 = 1/6.

التمرين 3: صندوق فيه 4 أقلام زرقاء و6 سوداء. سحبت هند قلمين دون إرجاع. ما احتمال قلم أزرق وآخر أسود؟

الحل: الطرق المطلوبة 4C1 × 6C1 = 24، والكلية 10C2 = 45. الاحتمال 24/45 = 8/15.

أسئلة شائعة

ما الفرق بين الحوادث المتنافية والمستقلة؟

المتنافيان لا يقعان معاً، كظهور 2 وظهور 5 في رمية واحدة. المستقلان قد يقعان معاً، لكن أحدهما لا يؤثر في احتمال الآخر، كنتيجتي نردين مختلفين. والمتنافيان، إن كان احتمال كل منهما فوق الصفر، ليسا مستقلين.

كيف أحوّل الاحتمال إلى نسبة مئوية؟

اضربه في 100. 3/8 = 0.375، أي 37.5%.

هل احتمال 0.5 يعني أن الحادث يقع مرة كل مرتين؟

ليس بالضبط. يعني أن نسبة وقوعه تقترب من النصف في عدد كبير جداً من المحاولات. في عشر رميات قد تحصل على 7 صور، وهذا طبيعي.

ما الاحتمال الشرطي؟

احتمال وقوع A إذا عرفنا أن B وقع: P(A|B) = P(A و B) ÷ P(B). في السحب دون إرجاع، احتمال أن تكون الثانية حمراء علماً بأن الأولى حمراء هو 4/9، وهذا احتمال شرطي.

نصيحتي لمسائل الاحتمال

قبل أي حساب، اكتب فضاء العينة صراحة أو احسب عدد عناصره، وضع خطاً تحت كل «و» و«أو» و«على الأقل» في السؤال. نصف المعركة يُحسم هناك. وإن أردت مراجعة جمع الكسور واختصارها قبل الامتحان، فستجدها في الكسور.