حل المعادلة التربيعية بالقانون العام والمميز مع أمثلة محلولة

حديقة مستطيلة، طولها يزيد على عرضها 3 أمتار، ومساحتها 40 متراً مربعاً. كم عرضها؟

سارة تريد زراعة هذه الحديقة خلف بيتها. سمِّ العرض x، فتكون المساحة x(x + 3) = 40، أي x² + 3x − 40 = 0. معادلة من الدرجة الثانية، وحل المعادلة التربيعية هو أول ما تحتاجه أمام هذا النوع من المسائل.

سنفهم القانون العام، ونعرف كيف يخبرك المميز بعدد الحلول قبل أن تحسب، ثم نحل أمثلة كاملة ونتحقق منها على الحاسبة العلمية.

الصورة العامة والقانون

كل معادلة يمكن كتابتها هكذا:

ax² + bx + c = 0، بشرط a ≠ 0

ولو كانت a صفراً لاختفى x² وصارت المعادلة خطية. والقانون العام:

x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a

علامة ± تعني حسابين: مرة بالجمع ومرة بالطرح. لهذا تعطيك التربيعية حلين في الغالب.

المميز يخبرك قبل أن تحسب

ما تحت الجذر له اسم: المميز Δ.

Δ = b² − 4ac

ابدأ به دائماً. حساب صغير، ويوفّر عليك الكثير إن خرج سالباً والسؤال يطلب الحلول الحقيقية.

مثال محلول: 2x² − 7x + 3 = 0

حدد المعاملات بإشاراتها: a = 2، وb = −7، وc = 3.

• المميز: (−7)² − 4 × 2 × 3 = 49 − 24 = 25. موجب، إذن حلان.
• الجذر: √25 = 5.
• −b هنا = +7، فـ x = (7 ± 5) ÷ 4.
• بالجمع: 12 ÷ 4 = 3. بالطرح: 2 ÷ 4 = 0.5.

نتحقق بالتعويض. x = 3: 2(9) − 21 + 3 = 0. وx = 0.5: 2(0.25) − 3.5 + 3 = 0. صحيحان.

حديقة سارة

x² + 3x − 40 = 0، فيها a = 1 وb = 3 وc = −40.

Δ = 9 − 4 × 1 × (−40) = 9 + 160 = 169، و√169 = 13.

x = (−3 ± 13) ÷ 2، فإما 5 وإما −8.

وهنا سؤال أطرحه على طلابي في كل مرة: هل نقبل الحلين؟ الرياضيات تقبلهما. العرض لا يقبل السالب. العرض إذن 5 أمتار، والطول 8، والمساحة 5 × 8 = 40. المسائل الكلامية تنتظر منك هذه الخطوة الأخيرة، وكثيرون يكتبون الحلين ويخسرون درجة.

والمعادلة نفسها تتحلل إلى (x + 8)(x − 5) = 0. التحليل أسرع حين يكون واضحاً، والقانون العام يعمل دائماً. للتمرّن على فك الأقواس وتحليلها: تبسيط العبارات الجبرية وفكها.

حالتان خاصتان

المميز صفر. في 4x² − 12x + 9 = 0: Δ = 144 − 144 = 0، والحل واحد: x = 12 ÷ 8 = 1.5. السبب أن الطرف الأيسر مربع كامل: (2x − 3)².

المميز سالب. في x² + 2x + 5 = 0: Δ = 4 − 20 = −16. لا عدد حقيقي مربعه سالب، فلا حلول حقيقية. وبالأعداد المركبة: √(−16) = 4i، والحلان x = −1 + 2i وx = −1 − 2i. التفاصيل في الأعداد المركبة.

على حاسبة RaqamX

وضع المعادلات يحل التربيعية من معاملاتها مباشرة. مع 2x² − 7x + 3 = 0:

1. افتح الحاسبة العلمية واختر معادلات من الأزرار فوق الشاشة.
2. من قائمة الأنواع اضغط 3 لتختار aX²+bX+c=0.
3. في جدول المعاملات: 2 =، ثم (−) 7 =، ثم 3 =. كل = ينقلك إلى الخانة التالية.
4. اضغط = مرة أخرى. تظهر X1=3 وX2=1/2.
5. اضغط ▼ لترى رأس القطع المكافئ: x-Min=7/4 وy-Min=−25/8.

القيمتان الأخيرتان أنفع مما يظن الطالب: رأس المنحنى عند x = −b ÷ 2a = 7/4، وأصغر قيمة للدالة −25/8. وفي حالة المميز السالب تعرض الحاسبة X1=−1+2i وX2=−1−2i، وفي حالة الصفر حلاً واحداً X=3/2.

للعودة إلى الجدول اضغط = أو AC، ولنوع آخر اضغط ≡. خيارات الوضع كلها في دليل وضع المعادلات.

طريق آخر: SOLVE في وضع حساب

اكتب المعادلة في وضع حساب: 2 x x² − 7 x + 3، ثم SOLVE. تظهر X=1/2. لكن SOLVE يعطيك جذراً واحداً، الأقرب إلى القيمة المخزنة في x، وهي صفر في البداية. وللجذر الآخر خزّن قيمة قريبة منه أولاً: 5، ثم SHIFT ثم ( (STO) ثم ) ليُحفظ 5 في X، ثم المعادلة وSOLVE، فتظهر X=3. لهذا أفضّل وضع المعادلات في التربيعية: يعرض الحلين معاً.

أخطاء تتكرر في كل امتحان

• إشارة b. إذا كانت b = −7 فإن −b = +7. ويقع الخطأ نفسه في b² حين يكتب الطالب −7² على الحاسبة فيحصل على −49، والصحيح (−7)² = 49.
• 2a يقسم البسط كله. لا الجذر وحده. وبعضهم يقسم على 2 وينسى a، فيصيب حين a = 1 ويخطئ في كل ما عداها.
• إدخال المعادلة قبل ترتيبها. في x² = 4x + 21 انقل كل شيء إلى طرف واحد: x² − 4x − 21 = 0، فـ a = 1 وb = −4 وc = −21، والحلان 7 و−3.
• الحد الغائب. في x² − 9 = 0 لا حد x، فمعامله صفر. اكتب 0 في خانة b ولا تقفز عنها.

تمارين مع الإجابات

1. حل x² − 7x + 12 = 0. الإجابة: Δ = 49 − 48 = 1، والحلان 4 و3.
2. حل 3x² + 5x − 2 = 0. الإجابة: Δ = 25 + 24 = 49، وx = (−5 ± 7) ÷ 6، فالحلان 1/3 و−2.
3. كم حلاً حقيقياً لـ x² − 6x + 13 = 0؟ الإجابة: Δ = 36 − 52 = −16، فلا حلول حقيقية. الحلان المركبان 3 + 2i و3 − 2i، وهذا ما تعرضه الحاسبة.

أسئلة شائعة

ما القانون العام لحل المعادلة التربيعية؟

x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a، ويعمل مع أي معادلة ax² + bx + c = 0 ما دامت a لا تساوي صفراً.

كيف أعرف عدد الحلول دون حلها؟

من المميز b² − 4ac: موجب يعني حلين حقيقيين، وصفر يعني حلاً مكرراً، وسالب يعني لا حلول حقيقية.

كيف أحلها بالآلة الحاسبة؟

وضع المعادلات، ثم النوع aX²+bX+c=0، ثم a وb وc مع = بعد كل معامل، ثم = أخيرة. وللدرجة الثالثة اقرأ المعادلة التكعيبية ونظام ثلاث معادلات.

التحليل أم القانون العام؟

إن رأيت التحليل بسرعة، كعددين حاصل ضربهما c ومجموعهما b حين a = 1، فهو أسرع. وإن لم يظهر خلال نصف دقيقة فلا تهدر وقتك؛ القانون العام لا يخذل أحداً.

نصيحة لورقة الامتحان

اكتب a وb وc بإشاراتها في سطر مستقل قبل أي تعويض، واحسب المميز وحده. هاتان الخطوتان تمنعان أكثر من نصف الأخطاء التي أراها. ولترى الحلين نقطتين على المنحنى، اقرأ رسم الدوال وإيجاد جذورها.