تبسيط العبارات الجبرية وفك الأقواس بأمثلة وتحقق بالحاسبة

أين يخسر الطلاب أكثر درجاتهم في الجبر؟

في الإشارات عند فك الأقواس. لا لأن الموضوع صعب، بل لأنه سهل إلى حد يغري بالاستعجال. تبسيط العبارات الجبرية وفكها مهارة ستحتاجها في كل درس تقريباً بعده: المعادلات، والدوال، والتفاضل. سنراجع القواعد بأمثلة محلولة، ثم نتحقق من الجواب بوضع «جبر رمزي» في الحاسبة الرسومية.

التبسيط والفك

التبسيط: كتابة العبارة بأقصر صورة ممكنة، وأداته الأولى جمع الحدود المتشابهة. والمتشابهة هي التي لها المتغير نفسه بالقوة نفسها: 3x و5x متشابهان، أما 3x و3x² فلا.

3x + 2x − x + 4 − 1 = 4x + 3.

الفك: التخلص من الأقواس بالضرب، ثم جمع المتشابه. أداته خاصية التوزيع: a(b + c) = ab + ac.

السالب أمام القوس

بسّط 5x − 2(x + 3) + 7.

−2 تضرب كل ما في القوس، بإشارتها: −2 × x = −2x، و−2 × 3 = −6.

5x − 2x − 6 + 7 = 3x + 1

الخطأ الذي أراه كل عام: 5x − 2x + 6 + 7. الإشارة ضُربت في الحد الأول ونُسيت في الثاني.

قوسان مضروبان

(2x − 1)(x + 4): كل حد في الأول في كل حد في الثاني.

• 2x × x = 2x²
• 2x × 4 = 8x
• −1 × x = −x
• −1 × 4 = −4

المجموع: 2x² + 8x − x − 4 = 2x² + 7x − 4

قوسان في كل منهما حدان يعطيانك أربعة حواصل ضرب قبل الجمع. كتبت ثلاثة؟ نسيت واحداً.

المتطابقات الثلاث

تستحق الحفظ، فهي توفّر وقتاً كبيراً:

ورابعة للمكعب، أقل ظهوراً: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³، ومنها (x + 1)³ = x³ + 3x² + 3x + 1.

أشهر خطأ في الدرس كله: (x + 3)² = x² + 9. الحد الأوسط 6x لا يختفي. جرّب بعدد لتقتنع: عند x = 1 الطرف الأيسر 4² = 16، وx² + 9 تعطي 10.

حديقة أحمد

حديقة مربعة ضلعها x متر. قرر أحمد توسيعها 3 أمتار طولاً ومترين عرضاً. كم تزيد المساحة؟

الجديدة (x + 3)(x + 2) = x² + 5x + 6، والقديمة x². الفرق:

(x + 3)(x + 2) − x² = 5x + 6 متر مربع.

ضلع 10 أمتار؟ الزيادة 56 متراً مربعاً. الفك حوّل السؤال إلى عبارة بسيطة تعوّض فيها أي طول.

التحقق بوضع الجبر الرمزي

انتهيت على الورق؟ الآن التحقق. وضع «جبر رمزي» في الحاسبة الرسومية يتعامل مع العبارات بدلالة x، ويعطيك عبارة لا عدداً.

1. اختر «جبر رمزي» من الأزرار فوق الشاشة.
2. اكتب العبارة بزر x وأزرار الأقواس والعمليات. لا حاجة لـ × بين العدد والمتغير أو بين قوسين؛ اكتب 2x أو (2x − 1)(x + 4) كما هي.
3. F2 (expd) لفك الأقواس، أو F1 (simp) للتبسيط.
4. EXE أو AC للعودة إلى العبارة وتعديلها.

عبارات جربتها، ونتائجها:

• (2x − 1)(x + 4) ثم F2: 2·x² + 7·x - 4
• 5x − 2(x + 3) + 7 ثم F2: 3·x + 1
• (x + 3)(x + 2) − x² ثم F2: 5·x + 6
• (x + 2)² − (x − 2)² ثم F2: 8·x

النقطة الوسطى في 7·x تعني الضرب، أي 7x.

F1 أم F2؟

ملاحظة من التجربة. F1 (simp) يجمع المتشابه: 3x + 2x − x + 4 − 1 تصبح 4·x + 3. لكنه قد يترك الأقواس على حالها: (x + 3)² مع F1 تبقى (x + 3)². تريدها مفكوكة؟ F2 (expd) يفك كل شيء ويرتب الحدود من القوة الأعلى.

وللتأكد من متطابقة: اكتب الطرفين بينهما طرح، مثل x² + 4x + 4 − (x + 2)²، واضغط F2. ظهر 0؟ الطرفان متساويان.

وما لا تفعله الحاسبة: اختصار الكسور الجبرية. (x² − 9) ÷ (x − 3) تبقى كما هي مع F1 وF2. حلّلها أنت: x² − 9 = (x − 3)(x + 3)، فيُختصر القوس، والجواب x + 3 بشرط x ≠ 3. ثم تحقق بفك (x − 3)(x + 3) على الحاسبة.

أزرار الوضع كاملة، ومنها الاشتقاق F3 والحل F4، في دليل الجبر الرمزي.

أخطاء شائعة

• السالب أمام القوس. −(x − 5) = −x + 5، لا −x − 5. السالب يقلب إشارة كل حد في الداخل.
• ضرب المتغير في نفسه. x × x = x²، لا 2x. و2x × 3x = 6x²، لا 6x.
• جمع غير المتشابه. 3x² + 2x لا تصبح 5x³ ولا 5x². تبقى كما هي.
• الحد الأوسط المفقود في مربع المجموع. إن حفظت شيئاً واحداً من هذه الصفحة فليكن هذا.

تمارين مع الحلول

1. بسّط: 3(x − 2) − (x − 5). (الجواب: 3x − 6 − x + 5 = 2x − 1)
2. فك: (x − 4)(x + 4). (الجواب: x² − 16)
3. فك: (3x + 1)². (الجواب: 9x² + 6x + 1)

حلّها على الورق أولاً، ثم اكتبها في وضع الجبر الرمزي واضغط F2 لتقارن.

أسئلة شائعة

ما معنى تبسيط العبارات الجبرية؟

كتابتها بأقصر صورة مكافئة: جمع المتشابه، وفك الأقواس عند الحاجة، بحيث تعطي القيمة نفسها لأي x.

كيف أفك قوسين مضروبين؟

كل حد في الأول في كل حد في الثاني، ثم اجمع المتشابه. قوسان بحدين في كل منهما يعطيانك أربعة حواصل قبل الجمع.

هل توجد حاسبة تبسّط العبارات الجبرية؟

نعم. وضع «جبر رمزي» في الحاسبة الرسومية في RaqamX يفك الأقواس ويجمع المتشابه ويشتق ويحل. استخدمه للتحقق بعد الحل اليدوي؛ الامتحان يطلب الخطوات، لا الجواب وحده.

ما الفرق بين الفك والتحليل؟

الفك يحوّل الضرب إلى مجموع حدود: (x + 2)(x + 3) إلى x² + 5x + 6. والتحليل عكسه، وهو ما تحتاجه لحل المعادلات كما في حل المعادلة التربيعية.

عادة تنقذ الدرجات

بعد كل فك، عوّض x = 1 في العبارة الأصلية وفي جوابك. إن اختلف الرقمان فهناك خطأ، وغالباً في إشارة. خمس ثوانٍ تكفي. وإن أردت رؤية العبارة نفسها منحنى فاقرأ رسم الدوال وإيجاد الجذور.