3 سندويشات وعصيران بـ 27 ريالاً، وسندويشتان و3 عصائر بـ 23. كم سعر كل واحد؟

اشترى أحمد الطلب الأول من مطعم قرب المدرسة، واشترت أخته سارة الثاني في اليوم التالي. مجهولان ومعلومتان: هذا بالضبط حل نظام معادلتين خطيتين. نبحث عن قيمتين تحققان المعادلتين معاً.

السندويشة x، والعصير y:

  • 3x + 2y = 27
  • 2x + 3y = 23

سنحل هذا بالحذف، ومثالاً آخر بالتعويض، ثم نرى كيف تعطيك الحاسبة العلمية الجواب في ثوانٍ، ومتى يكون النظام بلا حل أصلاً.

صورة تغنيك عن الحفظ

كل معادلة خطية بمجهولين مستقيم في المستوى. والنقطة (x، y) التي تحقق المعادلتين هي نقطة تقاطع المستقيمين. ثلاث حالات لا غير:

  • يتقاطعان في نقطة: حل واحد.
  • متوازيان: لا حل.
  • منطبقان: حلول لا نهائية.

احتفظ بهذه الصورة، وستفهم رسائل الحاسبة لاحقاً دون أن تحفظها.

الحذف

الفكرة: سوِّ معامل أحد المجهولين في المعادلتين، ثم اطرح فيختفي.

معامل y هنا 2 في الأولى و3 في الثانية. نضرب الأولى في 3 والثانية في 2:

  • 9x + 6y = 81
  • 4x + 6y = 46

نطرح: 5x = 35، فـ x = 7.

نعوّض في الأولى الأصلية: 3(7) + 2y = 27، أي 2y = 6 وy = 3.

السندويشة بـ 7 ريالات، والعصير بـ 3. وللتأكد عوّض في معادلة سارة: 2(7) + 3(3) = 14 + 9 = 23. صحيح.

التعويض

أريح حين يكون أحد المعاملات 1. ومسألة قديمة يحبها أهلنا: في مزرعة أبي خالد دجاج وخراف، رؤوسها 40 وأرجلها 110. كم من كلٍّ؟

الدجاج x، والخراف y:

  • x + y = 40
  • 2x + 4y = 110

من الأولى: x = 40 − y. نضعها في الثانية:

2(40 − y) + 4y = 110

80 − 2y + 4y = 110

2y = 30، فـ y = 15 خروفاً، وx = 25 دجاجة.

الأرجل: 25 × 2 + 15 × 4 = 50 + 60 = 110. تمام.

أي الطريقتين؟

  • معامل 1 أو −1 ظاهر؟ التعويض أسرع وأنظف.
  • معاملات مثل 3 و5 و7؟ الحذف يجنّبك الكسور.

النتيجة واحدة. أتقن واحدة واعرف الأخرى.

قانون مختصر للتحقق

إن كتبت النظام a₁x + b₁y = c₁ وa₂x + b₂y = c₂:

x = (c₁b₂ − c₂b₁) ÷ (a₁b₂ − a₂b₁)، وy = (a₁c₂ − a₂c₁) ÷ (a₁b₂ − a₂b₁)

في مثال أحمد المقام 3 × 3 − 2 × 2 = 5، فـ x = (81 − 46) ÷ 5 = 7، وy = (69 − 54) ÷ 5 = 3. هذا المقام هو محدد مصفوفة المعاملات؛ إن كان صفراً فلا حل وحيد. الفكرة كاملة في المصفوفات والمحددات.

على حاسبة RaqamX

  1. افتح الحاسبة العلمية واختر معادلات من الأزرار فوق الشاشة.
  2. اضغط 1 للنوع anX+bnY=cn.
  3. يظهر جدول بأعمدة a وb وc، وكل صف معادلة. الصف الأول: 3 =، 2 =، 27 =.
  4. الصف الثاني: 2 =، 3 =، 23 =.
  5. اضغط = مرة أخرى. تظهر X=7 وY=3.

مسألة المزرعة: الصف الأول 1 و1 و40، والثاني 2 و4 و110، فتظهر X=25 وY=15.

للمعامل السالب اضغط (−) قبل العدد. ولتعديل معامل واحد دون إعادة الكتابة: ≡ ثم Edit coefficients. بقية تفاصيل الوضع في دليل وضع المعادلات.

متى يغيب الحل الواحد؟

x + 2y = 5 و2x + 4y = 7. اضرب الأولى في 2: 2x + 4y = 10. الطرف الأيسر واحد، والأيمن مرة 10 ومرة 7. مستحيل. مستقيمان متوازيان، والحاسبة تعرض No Solution.

أما x + 2y = 5 و2x + 4y = 10، فالثانية هي الأولى مضروبة في 2. مستقيم واحد مكتوب مرتين، وكل نقطة عليه حل. الحاسبة تعرض Infinite Solution.

ظهرت إحدى الرسالتين؟ الحاسبة لم تتعطل. انظر إلى المعاملات: إن تناسبت في الصفين فهذا هو السبب.

أخطاء أصححها كل فصل

  • معادلة غير مرتبة. السؤال يعطيك y = 2x + 1 وx + y = 7؟ لا تكتب 2 و1 و1. رتّب أولاً على الصورة ax + by = c: −2x + y = 1، فالمعاملات −2 و1 و1. الحل x = 2 وy = 5، وللتحقق: 2(2) + 1 = 5.
  • طرح ناقص. حين تطرح معادلة من أخرى، اطرح الطرف الأيمن أيضاً. كثيرون يطرحون x وy وينسون الأرقام بعد =.
  • مجهول غائب. في x = 4 وx + y = 9 معامل y في الأولى صفر. اكتب 0 في خانته.
  • التوقف عند x. السؤال يطلب المجهولين. والتعويض في المعادلة التي لم تستعملها يكشف أي خطأ في دقيقة.

تمارين مع الإجابات

  1. حل 2x + 3y = 12 وx − y = 1. الإجابة: من الثانية x = 1 + y، فـ 2 + 2y + 3y = 12، أي y = 2 وx = 3.
  2. حل 5x − 2y = 4 و3x + 4y = 18. الإجابة: اضرب الأولى في 2 واجمع: 13x = 26، فـ x = 2، ثم y = 3.
  3. هل لـ x + 2y = 5 و2x + 4y = 7 حل؟ الإجابة: لا. متوازيان، والحاسبة تعرض No Solution.

أسئلة شائعة

ما طرق حل نظام معادلتين خطيتين؟

أشهرها التعويض والحذف، ومعهما الحل البياني برسم المستقيمين وقراءة التقاطع، وطريقة المحددات أو المصفوفات. كلها تصل إلى الجواب نفسه.

كيف أعرف أن النظام بلا حل؟

إذا تناسبت معاملات x وy في المعادلتين ولم يتناسب الطرفان الأيمنان بالنسبة نفسها، فالمستقيمان متوازيان.

كيف أحلها بالآلة الحاسبة العلمية؟

وضع المعادلات، ثم anX+bnY=cn، ثم a وb وc لكل معادلة مع = بعد كل رقم، ثم = لتظهر X وY.

وثلاث معادلات بثلاثة مجاهيل؟

الفكرة ذاتها مع عمود زائد. في الحاسبة اختر anX+bnY+cnZ=dn، والشرح مع مثال محلول في المعادلة التكعيبية ونظام ثلاث معادلات.

نصيحة للامتحان

رتّب المعادلتين على الصورة ax + by = c قبل أي خطوة، واكتب المعاملات في جدول صغير على الهامش. هذا الجدول هو ما ستُدخله في الحاسبة للتحقق، وهو ما سيكشف لك أي إشارة ضائعة.