لماذا يعطيك sin 60 رقماً سالباً؟ الجواب في حرف واحد أعلى الشاشة.
سارة في التوجيهي، وسؤال الامتحان التجريبي بسيط: سلّم طوله 5 أمتار يميل على الحائط بزاوية 60° مع الأرض، فما الارتفاع الذي يصل إليه؟ كتبت 5 × sin 60 على الحاسبة فظهرت −1.524053106. ارتفاع بالسالب. شطبت الحل وكتبت غيره، ثم اكتشفت بعد الامتحان أن القانون كان صحيحاً من البداية، والخطأ في حرف صغير أعلى الشاشة.
الموضوع هنا حساب sin وcos وtan بالآلة الحاسبة العلمية كما يحدث فعلاً: أي زر تضغط، ومتى تكون النتيجة كسراً أو جذراً، وكيف ترجع من النسبة إلى الزاوية بالدوال العكسية، وما الذي يجعل الحاسبة ترفض بعض الحسابات. كل الأمثلة جرّبتها على الحاسبة العلمية في RaqamX، والأرقام منقولة من شاشتها.
قبل أي حساب: انظر إلى حرف الزاوية
أعلى شاشة الحاسبة العلمية يظهر حرف واحد من ثلاثة:
- D يعني الدرجات (Degree)، وهو ما تحتاجه في مسائل المثلثات المدرسية.
- R يعني الراديان (Radian)، وتحتاجه في التفاضل والتكامل والفيزياء.
- G يعني الغراد (Gradian)، وحدة دورتها الكاملة 400، ونادراً ما يطلبها أحد.
حاسبة RaqamX العلمية تبدأ على D. لتغيير الوحدة اضغط SHIFT ثم زر ≡، فوقه كلمة DRG صغيرة. كل ضغطة تنقلك خطوة: من D إلى R، ثم إلى G، ثم تعود إلى D.
ما حدث مع سارة سببه أن حاسبتها كانت على R. حسبت جيب 60 راديان بدل 60 درجة، وجيب 60 راديان قيمته −0.3048 تقريباً، ومضروباً في 5 يعطي الرقم السالب الذي رأته. أما الحساب الصحيح على D فيظهر هكذا:
- تأكد أن الحرف أعلى الشاشة D.
- اضغط 5 ثم × ثم sin ثم 60 ثم =.
- تظهر النتيجة 5√3/2.
- اضغط ⇄ لتحويلها إلى عدد عشري: 4.330127019 متر.
إذا أردت فهم الفرق بين الوحدتين بعمق، ومتى يصر الأستاذ على الراديان، فالتفاصيل في مقال التحويل من الدرجات إلى الراديان.
طريقة حساب جا وجتا وظا بالآلة الحاسبة
في الكتب المدرسية العربية تقرأ جا وجتا وظا، وعلى الحاسبة تجد sin وcos وtan. هي نفسها:
| بالعربي | على الحاسبة | في المثلث القائم |
|---|---|---|
| جا (الجيب) | sin | المقابل ÷ الوتر |
| جتا (جيب التمام) | cos | المجاور ÷ الوتر |
| ظا (الظل) | tan | المقابل ÷ المجاور |
عند الضغط على sin تكتب الحاسبة sin( وتفتح القوس تلقائياً. تكتب الزاوية ثم = مباشرة، ولا يلزم إغلاق القوس إذا كانت الزاوية آخر ما في العملية. أما إذا جاء بعدها شيء، مثل تربيع الجيب، فأغلق القوس بنفسك: sin 30 ) x² = تعطي 1/4، أي (sin 30°)².
الزوايا الخاصة تظهر بصيغتها الدقيقة
الشاشة الطبيعية في RaqamX تعرض نتائج الزوايا المشهورة كما في الكتاب، لا كأعداد عشرية طويلة. هذه نتائج فعلية على وضع D:
| ما تكتبه | ما يظهر |
|---|---|
| sin 30 | 1/2 |
| sin 60 | √3/2 |
| cos 45 | √2/2 |
| cos 120 | −1/2 |
| tan 30 | √3/3 |
| tan 45 | 1 |
| cos 90 | 0 |
| sin 180 | 0 |
لاحظ أن tan 30 تظهر √3/3 وليس 1/√3 كما في بعض الكتب. القيمتان متساويتان، والحاسبة تجعل الجذر في البسط فقط.
وللزوايا غير المشهورة تظهر النتيجة عشرية مباشرة: sin 37 تعطي 0.6018150232.
الزاوية السالبة
لكتابة −30 استعمل زر (−) لا زر الطرح. sin (−) 30 = تعطي −1/2. زر الطرح هنا قد يمر أحياناً، لكني أنصح بالتعود على (−) لأنه الصحيح في كل موضع، والفرق بين الزرين مشروح في شرح أزرار الآلة الحاسبة العلمية.
لماذا تعطي tan 90 الرسالة Math ERROR؟
اكتب tan 90 = على وضع D، فتظهر Math ERROR. الحاسبة ليست معطلة.
ظل الزاوية هو الجيب مقسوماً على جيب التمام، وجيب تمام 90° يساوي صفراً، فالحساب قسمة على صفر. المحرك في RaqamX يفحص جيب التمام قبل حساب الظل، وإذا وجده صفراً أوقف العملية. الشيء نفسه يحدث مع tan 270.
والمفارقة أن tan 90 على وضع R تعطي رقماً عادياً: −1.995200412. السبب أن 90 راديان زاوية عادية (نحو 5157 درجة)، وجيب تمامها ليس صفراً. فإذا كتبت tan 90 ولم تظهر لك رسالة خطأ، فهذه إشارة إلى أن الحاسبة على الراديان وأنت تظن أنها على الدرجات.
أما الرسالة نفسها وأسبابها الأخرى فمفصلة في معنى Math ERROR وSyntax ERROR في الآلة الحاسبة.
الدوال العكسية: كيف تجيب الزاوية من sin بالحاسبة
هنا السؤال معكوس: تعرف النسبة وتريد الزاوية. هذه هي sin⁻¹ وcos⁻¹ وtan⁻¹، وتقرؤها في الكتب أحياناً "جا⁻¹" أو "الزاوية التي جيبها".
في RaqamX تجدها مكتوبة صغيرة فوق أزرار sin وcos وtan نفسها. تصل إليها بالضغط على SHIFT أولاً ثم الزر:
- SHIFT ثم sin تكتب sin⁻¹(
- اكتب 0.5 ثم =
- تظهر 30، أي 30°.
وبالطريقة نفسها: SHIFT cos 0.5 = تعطي 60، و SHIFT tan 1 = تعطي 45.
مثال: إيجاد الزاوية من أضلاع المثلث
مثلث قائم فيه الضلع المقابل 3 سم والوتر 5 سم. الزاوية = sin⁻¹(3 ÷ 5). على الحاسبة:
SHIFT sin 3 ÷ 5 = تعطي 36.86989765°.
لا تحتاج أن تحسب 3 ÷ 5 أولاً وتنقل الناتج. اكتب الكسر كما هو داخل الدالة، فهذا يقلل أخطاء النقل.
مثال من الهندسة: ميل منحدر
المهندس خالد يصمم منحدراً لمدخل مبنى في الرياض، يرتفع 1.2 متر على مسافة أفقية 8 أمتار. الارتفاع هو المقابل، والمسافة الأفقية هي المجاور، فالزاوية:
SHIFT tan 1.2 ÷ 8 = تعطي 8.53076561°.
الدالة العكسية تعطيك زاوية واحدة فقط
هذه نقطة يخسر فيها الطلاب درجات في أسئلة حل المعادلات المثلثية. المعادلة sin x = 0.5 لها حلان بين 0° و360°، هما 30° و150°، لكن الحاسبة تعطيك 30 فقط.
السبب أن كل دالة عكسية لها مدى محدد تُخرج منه نتيجتها، كما توضح ويكيبيديا في صفحة الدوال المثلثية العكسية:
- sin⁻¹ تعطي زاوية بين −90° و90°.
- cos⁻¹ تعطي زاوية بين 0° و180°.
- tan⁻¹ تعطي زاوية بين −90° و90° (دون الطرفين).
فإذا طلب السؤال كل الحلول، فالحاسبة تعطيك الحل الأول وأنت تكمل الباقي من دائرة الوحدة. مثلاً sin⁻¹(0.4) تعطي 23.57817848°، والحل الثاني 180 − 23.57817848 = 156.42182152°.
متى ترفض الدالة العكسية الحساب؟
جيب أي زاوية وجيب تمامها لا يخرجان عن المجال من −1 إلى 1. لذلك SHIFT sin 2 = تعطي Math ERROR، وكذلك cos⁻¹(1.5). أما tan⁻¹ فتقبل أي عدد، لأن الظل يأخذ كل القيم. وإذا أردت مراجعة الفكرة نفسها برسوم وتمارين قصيرة فدرس مقدمة الدوال المثلثية العكسية في أكاديمية خان مناسب للبداية.
في تجربتي مع الطلاب، ظهور Math ERROR هنا يعني في الغالب أن المقابل والوتر انقلبا في القسمة: كتب الطالب 5 ÷ 3 بدل 3 ÷ 5.
وحدة الزاوية تؤثر في النتيجة العكسية أيضاً
بدّل إلى R واحسب SHIFT sin 0.5 =، فتظهر π/6 بدل 30. الجوابان صحيحان، فهما الزاوية نفسها بوحدتين. لكن إذا كان السؤال يطلب الدرجات وكتبت π/6، أو العكس، فالمصحح لن يقبل.
حاسبة مثلثات اونلاين: ما الذي لا تجده كزر مستقل
حاسبة RaqamX العلمية، مثل معظم الحاسبات العلمية، فيها ثلاث دوال مثلثية فقط على الأزرار. أما ظتا وقا وقتا (cot وsec وcsc) فتحسبها بالمقلوب، بزر x⁻¹:
- ظتا 30 = 1 ÷ ظا 30: اكتب tan 30 ) x⁻¹ = فتظهر √3.
- قا 60 = 1 ÷ جتا 60: اكتب cos 60 ) x⁻¹ = فتظهر 2.
انتبه إلى القوس قبل x⁻¹. بدونه ترفع 30 نفسها إلى القوة −1، وتحسب الحاسبة tan(1/30) وهذا شيء آخر.
وهنا خلط يتكرر: sin⁻¹ ليست 1 ÷ sin. الأولى دالة عكسية تعطي زاوية، والثانية مقلوب الجيب وهي القاطع. الرمز نفسه ⁻¹ يحمل المعنيين، ولهذا تشير ويكيبيديا إلى أن بعض المؤلفين يفضلون كتابة arcsin تجنباً للالتباس.
وفي قائمة ≡ (OPTN) خيار Hyperbolic للدوال الزائدية sinh وcosh وtanh، ويمكن الوصول إليها أيضاً بزر hyp قبل sin أو cos أو tan: hyp sin 1 = تعطي 1.175201194. هذه دوال مختلفة تماماً عن جا وجتا، تظهر في التفاضل الجامعي، فلا تضغط hyp بالخطأ في سؤال مثلثات.
تحويل الإحداثيات بـ Pol وRec
في القائمة نفسها، تحت Coordinates، دالتان مفيدتان لطلاب الفيزياء والهندسة:
- ≡ ثم 5 ثم 1 تكتب Pol(، فتكتب 3 ثم SHIFT ) (الفاصلة) ثم 4 ثم ) =، فتظهر r = 5 وθ = 53.13010235. هذا طول المتجه وزاويته.
- ≡ ثم 5 ثم 2 تكتب Rec(، و Rec(10, 30) تعطي x = 8.660254038 وy = 5، أي مركبتي قوة مقدارها 10 نيوتن بزاوية 30°.
حدود يجب أن تعرفها
الحاسبة لا تقبل الدرجات والدقائق والثواني بصيغة 25°30′ مباشرة. إذا كانت الزاوية 25 درجة و30 دقيقة فاكتبها 25.5، أي 25 + 30 ÷ 60. وأعترف أن هذا أبطأ قليلاً من حاسبة فيها زر خاص لذلك، لكنه يكفي لمسائل المدرسة.
أمثلة محلولة من مسائل الامتحان
ظل المبنى. ليلى تقف في ساحة مدرستها في عمّان، وظل المبنى على الأرض 20 متراً، وزاوية ارتفاع الشمس 35°. ارتفاع المبنى = 20 × tan 35.
20 × tan 35 = تعطي 14.00415076 متر، أي نحو 14 متراً.
التحقق من متطابقة. أي زاوية تحقق sin² + cos² = 1. جرب على 37°:
sin 37 ) x² + cos 37 ) x² = تعطي 1.
هذا تمرين جيد للتأكد أنك تغلق الأقواس في المكان الصحيح. إذا لم تظهر 1، فالخطأ في الأقواس لا في الحاسبة.
حسبة صغيرة بالدينار. يوسف يملك قطعة أرض على شكل مثلث، ضلعان منها 30 و40 متراً والزاوية بينهما 50°. المساحة = ½ × 30 × 40 × sin 50:
0.5 × 30 × 40 × sin 50 = تعطي 459.6266659 متراً مربعاً. وإذا كان سعر المتر 25 ديناراً فثمنها نحو 11490.67 ديناراً. هنا أنصح بحفظ الناتج الأول وعدم إعادة كتابته، وطريقة ذلك بـ Ans في مقال كيفية استخدام الآلة الحاسبة العلمية اونلاين خطوة بخطوة.
أخطاء متكررة عند حساب sin وcos وtan بالآلة الحاسبة العلمية
الحاسبة على R وأنت تعمل بالدرجات. أشهر خطأ على الإطلاق. sin 30 على R تعطي −0.9880316241، وعلى G تعطي 0.4539904997، وعلى D وحدها تعطي 1/2. تعوّد أن تنظر إلى الحرف أعلى الشاشة قبل أول سؤال مثلثات، وبعد أي سؤال تفاضل.
نسيان القوس بعد الزاوية. sin 30 + 1 بدون قوس تجعل الحاسبة تحسب sin(30 + 1). أغلق القوس كلما أتى شيء بعد الزاوية.
الانتقال بين الحاسبتين. الحاسبة الرسومية في RaqamX تبدأ على الراديان، والعلمية على الدرجات. من ينقل مسألة من واحدة للأخرى يجب أن يعيد ضبط الوحدة.
كتابة sin⁻¹ وأنت تقصد 1/sin. راجع فقرة ظتا وقا أعلاه.
ولمن يستعد للامتحان، جمعنا أخطاء أخرى من هذا النوع في أخطاء الحاسبة في الامتحان، وشرحاً للوضع COMP كاملاً في دليل الحساب العلمي.
قليل من التاريخ: لماذا اسمه "جيب"؟
بدأ حساب المثلثات بجداول الأوتار عند الإغريق، وتعرض موسوعة بريتانيكا في قسمها عن التاريخ كيف انتقل العمل بعدها إلى نصف الوتر في الهند ثم إلى العالم الإسلامي. وتذكر ويكيبيديا العربية في مقال الدوال المثلثية أن البتاني في القرن العاشر استعمل الجيب وجيب التمام في حساباته ووضع جداول لها، وأن أبا الوفاء البوزجاني كان أول من عرّف الدوال على دائرة الوحدة كما ندرسها اليوم. الأسماء الست التي في كتبنا، الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام والقاطع وقاطع التمام، من ذلك التراث.
أسئلة شائعة
كيف احول الحاسبة من راديان الى درجات؟
في RaqamX اضغط SHIFT ثم ≡، وكرر حتى يظهر الحرف D أعلى الشاشة. الترتيب D ثم R ثم G ثم D من جديد.
لماذا الحاسبة تعطي sin 30 خطأ؟
إذا ظهرت −0.988 فالحاسبة على الراديان، وإذا ظهرت 0.454 فهي على الغراد. القيمة الصحيحة بالدرجات 1/2.
كيف اكتب sin تربيع في الآلة الحاسبة؟
اكتب sin ثم الزاوية ثم أغلق القوس ثم x². مثلاً sin 30 ) x² = تعطي 1/4.
هل tan 90 تساوي ما لا نهاية؟
الظل غير معرّف عند 90°، والحاسبة تعبّر عن ذلك بالرسالة Math ERROR. القيم تكبر بلا حد كلما اقتربت الزاوية من 90، لكن عند 90 نفسها لا توجد قيمة.
تمارين للتدريب
أفضل تدريب على حساب sin وcos وtan بالآلة الحاسبة العلمية أن تحل بنفسك ثم تقارن. جرّبها قبل النظر في الإجابات، والحاسبة على D:
- احسب 8 × cos 40.
- مثلث قائم ضلعاه القائمان 7 و24. أوجد الزاوية المقابلة للضلع 7.
- ظل شجرة 12 متراً، وزاوية ارتفاع الشمس 28°. كم طول الشجرة؟
- ما ناتج cos⁻¹(−0.5)؟
الإجابات: 1) 6.128355545. 2) tan⁻¹(7 ÷ 24) = 16.26020471°. 3) 12 × tan 28 = 6.38051318 متر تقريباً. 4) 120°، وهي ضمن مدى cos⁻¹ من 0 إلى 180.
عادة واحدة تحميك
قبل أول سؤال مثلثات في أي امتحان، انظر إلى أعلى الشاشة. D للدرجات، وR للراديان. ثانيتان فقط، وهما الفرق بين ارتفاع سلّم صحيح وارتفاع بالسالب.