ما هي المشتقة؟ شرح الميل ومعدل التغيّر بأمثلة محلولة

عدّاد السيارة يشير إلى 60 كم/ساعة. ماذا يعني هذا الرقم بالضبط؟

أحمد لم يقطع 60 كيلومتراً في هذه اللحظة، ولم تمضِ عليه ساعة. العدّاد يخبرك بسرعة التغيّر في لحظة واحدة. وهذه هي فكرة المشتقة كلها: سرعة تغيّر كمية ما في لحظة محددة.

في أول حصة تفاضل يسألني الطلاب: ما هي المشتقة، ولماذا نحتاجها؟ أفضّل أن أبدأ من الشارع لا من الكتاب. سنفهمها من ثلاث زوايا: معدل التغيّر، وميل المماس، والتعريف بالنهاية. ثم نحل مثالاً كاملاً باليد، ونتحقق منه على الحاسبة الرسومية، ونرسم المماس لنراه.

من المتوسط إلى اللحظة

سيارة تنطلق من السكون، والمسافة بالأمتار بعد t ثانية هي s(t) = 4t². بعد ثانية: 4 أمتار. بعد ثانيتين: 16. بعد ثلاث: 36.

السرعة المتوسطة بين الثانية الأولى والثانية:

(16 − 4) ÷ (2 − 1) = 12 م/ث

لكنها متوسط، والسيارة تتسارع، فسرعتها عند t = 2 بالضبط أكبر من 12. كيف نعرفها؟ نأخذ فترات أقصر فأقصر تبدأ من t = 2، ونسمّي طول الفترة h:

الأرقام تزحف نحو 16 كلما صغرت h. هذا الـ 16 هو السرعة اللحظية عند t = 2، وهو مشتقة s عند تلك النقطة: s'(2) = 16.

الصورة الهندسية: ميل المماس

خذ على أي منحنى نقطتين. الخط بينهما اسمه القاطع، وميله هو بالضبط السرعة المتوسطة: فرق y على فرق x. الآن قرّب النقطة الثانية من الأولى. يدور القاطع شيئاً فشيئاً حتى يلامس المنحنى في نقطة واحدة تقريباً. هذا هو المماس.

المشتقة عند نقطة = ميل المماس عندها:

• موجبة: الدالة صاعدة هناك.
• سالبة: نازلة.
• صفر: المماس أفقي، وغالباً عند قمة أو قاع.

هذه القراءة هي ما ستعتمد عليه لاحقاً في مسائل القيم العظمى والصغرى. لا تقفز عنها.

التعريف بالنهاية

نجمع الفكرتين في صيغة:

f'(x) = lim (f(x + h) − f(x)) ÷ h عندما h ← 0

البسط تغيّر الدالة، والمقام تغيّر x، والنهاية تعني أن h تقترب من الصفر دون أن تساويه. لماذا لا نضع h = 0 مباشرة؟ لأننا سنحصل على 0 ÷ 0، ولا معنى له. نبسّط الكسر أولاً، ثم نترك h تقترب. وللتعمق في معنى النهاية نفسها: النهايات والاتصال.

مثال محلول: f(x) = x² − 3x من التعريف

f(x + h) أولاً:

f(x + h) = (x + h)² − 3(x + h) = x² + 2xh + h² − 3x − 3h

نطرح f(x) = x² − 3x:

f(x + h) − f(x) = 2xh + h² − 3h

نقسم على h، وهي ليست صفراً:

(2xh + h² − 3h) ÷ h = 2x + h − 3

ونترك h تقترب من الصفر فيختفي حدها:

f'(x) = 2x − 3

صيغة تعطيك الميل في أي نقطة. عند x = 4 الميل 5، فالدالة صاعدة بقوة. وعند x = 1 الميل −1، فهي نازلة.

معادلة المماس عند x = 1: قيمة الدالة f(1) = 1 − 3 = −2، فالنقطة (1، −2) والميل −1:

y − (−2) = −1(x − 1)، أي y = −x − 1

وسؤال للتفكير: أين يكون المماس أفقياً؟ 2x − 3 = 0، فـ x = 1.5. هذا هو رأس القطع المكافئ بالضبط.

التحقق على حاسبة RaqamX الرسومية

قيمة المشتقة عند نقطة (وضع حساب)

1. اختر حساب من الأزرار فوق الشاشة.
2. اضغط SHIFT ثم ∫ لتظهر d/dx.
3. اكتب الدالة: x ثم x² ثم − ثم 3 ثم x.
4. اضغط ▶ إلى خانة قيمة x، واكتب 4.
5. اضغط EXE. تظهر 5.

غيّر 4 إلى 1: تظهر −1. كلاهما يطابق الحل اليدوي. هذا الوضع يعطيك قيمة عددية عند نقطة. أما الصيغة 2x − 3 فتأتي من وضع جبر رمزي بالأمر F3 (d/dx)، كما في قواعد الاشتقاق.

رؤية المماس (وضع رسم بياني)

1. اختر رسم بياني.
2. في Y1: x ثم x² ثم − ثم 3 ثم x، ثم EXE.
3. في Y2: (−) ثم x ثم − ثم 1، ثم EXE.
4. F6 (DRAW) لرسم الدالتين.
5. F1 (TRCE) ثم ▶ عشر مرات حتى X=1، فتقرأ Y=−2.
6. ▼ للانتقال إلى Y2، فتجد Y=−2 أيضاً في النقطة نفسها.

سترى المستقيم يلامس المنحنى عند (1، −2) ولا يقطعه حولها. كبّر بـ F2 (ZM+) أثناء التتبّع، وكلما كبّرت بدا المنحنى قرب النقطة أشبه بالمستقيم. هذه الملاحظة البسيطة هي روح التفاضل. أزرار الوضع في دليل رسم الدوال.

أخطاء أراها كل عام

• (x + h)² = x² + h². الصحيح x² + 2xh + h². الحد الأوسط هو الذي يصنع المشتقة كلها؛ انسَه يفسد الحل من أوله.
• h = 0 قبل القسمة. يكتب الطالب 0 ÷ 0 ويتوقف. بسّط أولاً.
• المشتقة ليست قيمة الدالة. f(1) = −2 ارتفاع النقطة، وf'(1) = −1 ميل المماس عندها. رقمان لسؤالين مختلفين.
• وحدة الزاوية. دالة فيها sin أو cos تحتاج الراديان R. الحاسبة الرسومية تبدأ به، لكن إن غيّرته سابقاً بـ SHIFT ثم ≡ ستحصل على أرقام غريبة.

تمارين مع الإجابات

1. من التعريف، اشتق f(x) = 5x + 2. الإجابة: f(x + h) − f(x) = 5h، وبالقسمة على h: f'(x) = 5. ميل المستقيم ثابت، وهذا منطقي.
2. تملأ سارة خزاناً، وحجم الماء باللتر بعد t دقيقة V(t) = t² + 10t. ما معدل التدفق عند t = 3؟ الإجابة: V'(t) = 2t + 10، فـ V'(3) = 16 لتراً في الدقيقة.
3. معادلة المماس لـ f(x) = x² عند x = 2؟ الإجابة: f(2) = 4 وf'(2) = 4، فالمماس y = 4x − 4.

أسئلة شائعة

ما المشتقة بكلمات بسيطة؟

معدل تغيّر الدالة عند نقطة: كم تتغيّر y إذا غيّرت x تغييراً صغيراً جداً. وهندسياً: ميل المماس عند تلك النقطة.

ما الفرق بين المشتقة والميل؟

ميل المستقيم ثابت في كل مكان. ميل المنحنى يتبدل من نقطة إلى أخرى، والمشتقة تعطيك هذا الميل عند كل نقطة.

لماذا تكون المشتقة صفراً عند القمة؟

لأن المماس هناك أفقي. الدالة تصعد، تتوقف لحظة، ثم تنزل. وفي لحظة التوقف يكون معدل التغيّر صفراً.

هل تحسب الحاسبة المشتقة؟

نعم. في وضع حساب تعطيك d/dx قيمتها عند نقطة، وفي وضع جبر رمزي تعطيك صيغتها بدلالة x.

نصيحة للحصة القادمة

لا تقفز إلى القواعد قبل أن تحسب مشتقتين أو ثلاثاً من التعريف بيدك. التعب الذي ستشعر به هو بالضبط ما سيجعلك تقدّر القواعد، ويجعلك تفهم من أين جاءت. ثم حل باليد دائماً، وتحقق بالحاسبة.